Die Suche nach der Weltformel

Die Weltformel ist eine Idee aus der modernen Physik. Die Suche verfolgt das Ziel, eine Gleichung zu finden, die sämtliche Naturkonstanten der Quantenphysik beinhaltet und damit Gravitation, Elektrizität und Magnetismus gemeinsam beschreiben kann. Den deutschen Begriff „Weltformel“ prägte 1872 Emil du Bois-Reymond.

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1 Gravitation

Galileo Galilei legte im Jahre 1638 das Ergebnis seiner Fallversuche vor. Isaac Newton veröffentlichte 1687 seine Gravitationstheorie. Sie erklärt sowohl Galileis Fallversuche als auch Keplers Himmelsgesetze. Der Apfel fällt vom Baum, weil er von der Erde angezogen wird. Der Mond wird ebenfalls von der Erde angezogen. Dennoch fällt er nicht auf die Erde. Newton fand eine geniale Erklärung. Ohne die Schwerkraft der Erde würde der Mond sich geradlinig fortbewegen. Die Erdanziehung übt einen kontinuierlichen Einfluss auf den Mond aus. Er fällt nicht auf, sondern um die Erde. Ebenso fallen auch die Planeten ständig um die Sonne. Im Vakuum fallen alle Gegenstände gleich schnell.

Newton formulierte sein Gravitationsgesetz. Die Schwerkraft ist proportional zum Produkt der Massen geteilt durch das Quadrat ihres Abstandes. Die Proportionalitätskonstante ist für den Apfel, den Mond, die Erde und die Planeten gleich. Sie wird als Gravitationskonstante bezeichnet, der Messwert lautet:

G = 6,6742867 * 10^-11 m³ / (kg * s²)

2 Elektrizität

Charles Augustin de Coulomb untersuchte die elektrische Kraft. Im Jahre 1785 veröffentlichte er sein Kraftgesetz. Die Kraft zwischen zwei elektrischen Ladungen ist proportional zum Produkt der beiden Ladungen geteilt durch das Quadrat ihres gegenseitigen Abstandes. Die Proportionalitätskonstante ist gegeben durch die von Michael Faraday 1839 eingeführte elektrische Feldkonstante. Coulombs Gesetz ähnelt Newtons Gravitationsgesetz.

3 Magnetismus

Hans Christian Oersted entdeckte 1820 den Magnetismus, den ein von einem elektrischen Strom durchflossener Leiter auf einen Kompass ausübt. Auf diese Weise erkannte Oersted den Zusammenhang zwischen Elektrizität und Magnetismus.

Im gleichen Jahr wickelte André Marie Ampere den elektrischen Leiter zu einer Spule und konnte so die magnetische Kraft verstärken.

Ebenfalls 1820 formulierten Jean-Baptiste Biot und Felix Savart das Biot-Savart-Gesetz. Die magnetische Kraft zwischen zwei parallelen elektrischen Leitern ist proportional zum Produkt ihrer Stromstärken geteilt durch das Quadrat ihres gegenseitigen Abstandes.

Die Proportionalitätskonstante ist gegeben durch die von Michael Faraday 1839 eingeführte magnetische Feldkonstante. Das Biot-Savart-Gesetz ähnelt sowohl Newtons Gravitationsgesetz als auch Coulombs Gesetz.

4 Feldtheorie

Newton, de Coulomb, Ampere, Biot und Savart betrachteten Kräfte. Michael Faraday stellte sich die Frage, wie ein Apfel von der Erde erfährt, damit er vom Baum fallen kann. Faraday nahm die Existenz eines Kraftfeldes an, das zwischen Erde und Apfel existiert. So führte er 1839 den Feldbegriff ein. Jede Masse ist von einem Gravitationsfeld umgeben. Jede elektrische Ladung ist von einem elektrischen Feld umgeben. Jeder Magnet und jeder elektrische Strom ist von einem magnetischen Feld umgeben.

Faraday entnahm Oersteds Experimenten eine wichtige Erkenntnis. Ein sich veränderndes elektrisches Feld erzeugt ein magnetisches Feld. Den umgekehrten Fall erkannte James Clerk Maxwell 1873. Ein sich veränderndes magnetisches Feld erzeugt ein elektrisches Feld. Wie Maxwell erkannte, ergibt die Kombination dieser Begebenheiten die Selbstinduktion. Bei der Selbstinduktion werden die Felder wellenförmig erzeugt. Dabei ist das Produkt aus elektrischer Feldkonstante und magnetischer Feldkonstante gleich dem Kehrwert des Quadrates der Lichtgeschwindigkeit. Deshalb sagte Maxwell 1873 die Existenz elektromagnetischer Wellen vorher. Heinrich Hertz wies in einer Reihe von zwischen 1886 und 1888 durchgeführten Experimenten die Existenz der elektromagnetischen Wellen nach.

5 Relativitätstheorie

Zahlreiche Experimente wie das 1887 von Albert Abraham Michelson und Edward Williams Morley durchgeführte lieferten dasselbe Ergebnis. Alle unbeschleunigten Beobachter messen denselben Wert für die Lichtgeschwindigkeit. Von dieser Erkenntnis ausgehend formulierte Albert Einstein 1905 die spezielle Relativitätstheorie. Anhand dieser Theorie bewies er 1905 die universelle Gültigkeit der Elektrodynamik Maxwells.

Gemäß der speziellen Relativitätstheorie werden Längen als Zeitintervalle multipliziert mit der Lichtgeschwindigkeit gemessen. Die Lichtgeschwindigkeit beträgt c=299.792.458 m/s, die Lichtgeschwindigkeit ist somit der Umrechnungsfaktor für Raum und Zeit.

Zwischen 1912 und 1916 stellte Albert Einstein eine Feldtheorie der Gravitation auf. Sie wird als allgemeine Relativitätstheorie bezeichnet. Diese Theorie enthält als wesentliche Aussage: Masse krümmt den Raum. Die Proportionalitätskonstante zwischen dem die Raumkrümmung beschreibenden Ricci-Tensor und dem die Massendichte enthaltenden Energie-Impuls-Tensor wird als Einsteinsche Feldkonstante bezeichnet. Sie ist eine Kombination aus der Newtonschen Gravitationskonstanten und der Lichtgeschwindigkeit. Sie lautet

kappa^[1] = 8 π * G / c⁴

Hierbei bezeichnet der griechische Buchstabe π die Kreiszahl „Pi“, der Wert beträgt verkürzt π = 3,14159...

6 Kosmologie

Einstein erweiterte 1917 die allgemeine Relativitätstheorie um die kosmologische Konstante. Wie Willem de Sitter im gleichen Jahr erkannte, verursacht die kosmologische Konstante eine Expansion des Univerums. Carl Wirtz erkannte 1924 eine Konsequenz aus de Sitters Kosmologie. Entfernte Objekte weisen eine Rotverschiebung ähnlich der aus dem Doppler-Effekt resultierenden auf. Dabei ist die Rotverschiebung proportional zum Abstand des Beobachters. Edwin Powell Hubble wies 1929 diesen Hubble-Effekt nach. Die Proportionalitätskonstante aus der sogenannten Fluchtgeschwindigkeit und dem Abstand wird als Hubble-Konstante bezeichnet. Anhand des Hubble Space Teleskops maßen Barry Madore und Mitarbeiter 1998 ihren Wert zu

H = 73 (+/-21) km / (s * Mpc)

Hierbei entspricht

1 Mpc = 3,085 677 580 74 * 10²² m

Die astronomische Längeneinheit Mega-Parsec entspricht 3,26 Millionen Lichtjahren.

In der Februar-Ausgabe des Jahres 2009 der Zeitschrift Astrophysical Journal Supplement Series (Vol. 180, S. 330 - 376) veröffentlichten Eiichiro Komatsu und Mitarbeiter erstmalig einen zuverlässigen Messwert für die Hubble-Konstante:

H = 70,5 (+/- 1,3) km / (s * Mpc)

Innerhalb der Messungenauigkeit stimmt dieser Zahlenwert mit dem zehn Jahren früher vorhergesagten Zahlenwert der Hubble-Konstanten überein.

7 Plancksches Wirkungsquantum

1899 und 1900 entdeckte Max Planck das nach ihm benannte Wirkungsquantum h. Langjährige Erfahrungen ließen es als zweckmäßiger erscheinen, das 1931 von Paul Dirac eingeführte reduzierte Plancksche Wirkungsquantum und die Dirac-Gleichung zu verwenden. Per Definition gilt:

ℏ = h / 2π

Der Wert beträgt in SI-Einheiten

ℏ = 1,054 571 817 * 10^-34 kg * m² / s

Wie Planck 1899 erkannte, ergeben Kombinationen aus dem Wirkungsquantum, Newtons Gravitationskonstante und der Lichtgeschwindigkeit natürliche Einheiten für die Zeit, die Länge und die Masse. Sie werden als Planck-Zeit T, Planck-Länge L und Planck-Masse M bezeichnet. Sie lauten:^[2]

T = (ℏ * G / c⁵)^-2

für die Fläche L² = ℏ * G / c³

M = (ℏ * c / G)^-2

Das Plancksche Wirkungsquantum erscheint in sämtlichen Gleichungen der Quanten-Theorie. Planck formulierte 1900 mit seiner Hilfe das Strahlungsgesetz für schwarze Körper. Einstein erklärte 1905 den 1887 von Hertz entdeckten Photo-Effekt. Die Energie eines Photons ist gleich der Kreisfrequenz der elektromagnetischen Welle multipliziert mit h-quer. Wie Niels Bohr 1913 erkannte, können die Drehimpulse der Elektronen im Atom nur ganzzahlige Vielfache von h-quer annehmen. Diese Tatsache erklärt das charakteristische Linien-Spektrum der Atome. Wie Louis de Broglie 1924 erkannte, ist h-quer die Proportionalitätskonstante zwischen dem Impuls eines Elektrons und seinem Wellenvektor. Das Wirkungsquantum ist der quanten-theoretische Umrechnungsfaktor für Teilchen- und Wellen-Beschreibung.

Fundamental ist h-quer auch für die unabhängig von Werner Heisenberg 1925 und von Erwin Schrödinger 1926 eingeführte Quanten-Mechanik. Sie beschreibt die Orbitale der Elektronen-Hüllen von Atomen und Molekülen. Gemäß der von Heisenberg 1927 aufgestellten Unschärfe-Relation können Ort und Impuls eines Teilchens niemals gleichzeitig exakt gemessen werden. Das Produkt ihrer Unschärfen ist etwa gleich h-quer.

Der 1928 von George Gamow entdeckte Tunnel-Effekt hängt ebenfalls von h-quer ab. Er beschreibt beispielsweise den radioaktiven Zerfall des Urans. Dirac vereinheitlichte 1928 die Quanten-Mechanik mit der speziellen Relativitätstheorie. Seine Dirac-Gleichung beschreibt den Compton-Effekt, die 1923 von Arthur Compton entdeckte Streuung von Licht an freien elektrischen Ladungen. Außerdem beschreibt die Dirac-Gleichung die Antimaterie.

8 Festkörper-Physik

Zahlreiche Phänomene der Festkörper-Physik werden anhand der Quanten-Mechanik beschrieben. Heisenberg erklärte 1928 den Ferromagnetismus. Die Supraleitung, wonach für die elektrische Leitung der Widerstand bei Annäherung an den absoluten Nullpunkt von −273 °C sinkt, wurde 1911 von Heike Kamerlingh Onnes beim Quecksilber entdeckt und 1950 von Vitalij Ginzburg und Lew Landau, sowie 1957 von Alexej Abrikosow, John Bardeen, Leon Cooper und John Robert Schrieffer erklärt. Die Superfluidität, bei der eine kalte Flüssigkeit alle Barrieren überwindet und alle benachbarten Flächen überzieht, wurde 1911 beim Helium ebenfalls von Onnes entdeckt und 1941 von Lew Landau, sowie 1972 von Anthony Leggett erklärt.

9 Quanten-Elektrodynamik

Sin-Itiro Tomonaga, Julian Schwinger und Richard Feynman entwickelten 1948 und 1949 die Quanten-Elektrodynamik. Gemäß dieser Theorie besteht das elektromagnetische Feld aus Teilchen, den 1905 von Einstein vorhergesagten Photonen. Die Quanten-Elektrodynamik erklärt zahlreiche Phänomene, die weder durch die klassische Physik noch durch die Quanten-Mechanik beschrieben werden können.

Die Stärke der Kopplung zwischen einem Photon und einer elektrischen Ladung wird durch die zuerst als Abkürzung von Arnold Sommerfeld 1916 eingeführte Feinstruktur-Konstante alpha beschrieben. Sie ist eine Kombination aus der elektrischen Elementarladung e, der elektrischen Feldkonstante epsilon, dem reduzierten Planckschen Wirkungsquantum h-quer und der Lichtgeschwindigkeit c,

alpha = e² / (4 * π * epsilon * h-quer * c)

Der Zahlenwert von alpha hängt von der Temperatur ab. Deshalb wird alpha als gleitende Kopplungskonstante bezeichnet. Am Temperatur-Nullpunkt lautet ihr Messwert

alpha = 1 / 137,035 999 67994

10 Quanten-Gravitation

Für den statischen Fall ist die Gravitationstheorie Newtons analog zur Elektrostatik Coulombs. Im dynamischen Fall sind die allgemeine Relativitätstheorie Einsteins und die Elektrodynamik Maxwells analog. Zur Quanten-Elektrodynamik existiert bislang keine analoge Quanten-Feldtheorie, die die Gravitation beschreibt.

Diese Quanten-Gravitation müsste als Grenzfälle die allgemeine Relativitätstheorie und die Quanten-Mechanik beschreiben. Ihre charakteristischen Einheiten wären Kombinationen aus der Gravitationskonstanten G, der Lichtgeschwindigkeit c und dem Planckschen Wirkungsquantum. Diese Einheiten sind die Planck-Zeit T, die Planck-Länge L und die Planck-Masse M.

11 Einheitliche Feldtheorie

Nachdem Albert Einstein 1915 seine Allgemeine Relativitätstheorie veröffentlicht hatte, begann die Suche nach einer einheitlichen Feldtheorie. Möglicherweise können Gravitation und Elektromagnetismus durch eine einzige Theorie beschrieben werden. Eine derartige einheitliche Quanten-Feldtheorie müsste auf einer Gleichung basieren, die T, L, M und alpha enthält.

Die Verhältnisse der Elementareinheiten verschiedener Dimensionen entsprechen Koeffizienten zwischen ihren Räumen in den Zustandsgleichungen, also den Ereignis- und Längendichten, zueinander.

12 Naturkonstanten-Gleichung

Der Betrag des natürlichen Logarithmus aus dem Produkt der Hubble-Konstanten und der Planck-Zeit ist näherungsweise gleich dem Kehrwert der Feinstruktur-Konstanten. Diese Erkenntnis erwähnte Rainer Walter Kühne in einer unveröffentlichten Abhandlung, die am 9. September 1993 die Eingangsnummer K 09109 LS/lw von der Zeitschrift Nature und am 23. September 1993 die Eingangsnummer Vi 3282 von der Zeitschrift Physics Letters A erhielt.

Sechs Jahre später publizierte Kühne die Naturkonstanten-Gleichung

8 * π* H * T = exp ( -1 / alpha)

in der Zeitschrift Modern Physics Letters A (Jg. 1999, Vol. 14, S. 1917 - 1922). Hierbei bezeichnet exp die Exponentialfunktion. Außerdem gilt

8 * π * H * T = kappa * c * H * M = kappa * h-quer * H / L

Anhand der Messwerte für G, h-quer, c und alpha ergibt sich aus der Naturkonstanten-Gleichung die Vorhersage für den Wert der Hubble-Konstanten zu

H = 69,734(4) km / (s * Mpc)

Die im Jahre 1999 formulierte Naturkonstanten-Gleichung beinhaltet die charakteristischen Naturkonstanten der Quanten-Elektrodynamik und der Quanten-Gravitation. Diese Gleichung sagt den Zahlenwert der Hubble-Konstanten vorher. Eine Messung hat kürzlich diesen Zahlenwert bestätigt. Dies legt die Existenz einer einheitlichen Feldtheorie nahe, die Quanten-Elektrodynamik und Quanten-Gravitation gemeinsam beschreibt.