Zahlensystem

Ein Zahlensystem (seltener auch Zahlsystem genannt) ist ein System zur Darstellung von Zahlen und Werten. Das Darstellungsformat ist nicht zwingend festgelegt, viele Zahlensysteme sind in einer Zahlenschrift und mit Zahlworten realisiert. Jede Zahl wird dabei nach syntaktischen Regeln als eine Folge von Zeichen - auch Ziffern genannt - dargestellt. Die moderne Forschung unterscheidet grundsätzlich zwischen Additionssystemen und Stellenwertsystemen.

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1 Additionssysteme

In einem Additionssystem wird eine Zahl als Summe der Werte ihrer Ziffern dargestellt. Dabei spielt die Position der einzelnen Ziffern keine Rolle. Die Additionssysteme sind wohl menschheitsgeschichtlich die ältesten, da das Abzählen von Gegenständen eine ziemlich elementare Handlung darstellt.

Ein Beispiel ist das Strichsystem (Unärsystem), das sich als einfachste Methode anbietet, wenn etwas schriftlich mitgezählt werden soll (wie zum Beispiel die Getränke auf einem Bierdeckel). Hierbei wird die natürliche Zahl n durch die entsprechende Anzahl Striche dargestellt. Dies ist wahrscheinlich eines der ältesten Zählsysteme überhaupt und findet sich teilweise noch bei den römischen Zahlen, bei denen die Zahl 3 durch drei senkrechte Striche oder ähnliche Zeichen dargestellt wird (z.B. III). Dies setzt sich bei den römischen Zahlen für höhere Werte fort: So steht XXX für 30 und CCC für 300. Das Unärsystem und verwandte Systeme werden bei der Darstellung größerer Zahlen sehr schnell unübersichtlich. Deshalb ist es beim reichen Strichsystem meist üblich, die Zahlen in Blöcke zusammenzufassen, indem man etwa jeden fünften Strich quer über die vier vorangegangenen Einzelstriche legt. Obwohl es aus diesem Grund nicht geeignet ist, große Zahlen darzustellen, wird es im Alltag dennoch in manchen Situationen verwendet. Eine Addition um einen Zahlenwert ist einfach durch das Hinzufügen eines Striches möglich.

2 Stellenwertsysteme

Im Alltag und der Wissenschaft haben sich Stellenwertsysteme vor allem für große Zahlen bewährt. Die Anzahl der verwendeten Ziffern wird „Basis des Stellenwertsystems“ genannt. Dies sind 2 beim Dualsystem, 8 (beim Oktalsystem, 10 beim bekannten Dezimalsystem oder 16 beim in der Datenverarbeitung wichtigen Hexadezimalsystem.

Historisch ist in diesem Zusammenhang das Duodezimalsystem zu nennen, das zu den ältesten gehört, zum Beispiel auch bei Geldwährungen üblich war, sich aber für sehr große Zahlen nicht durchsetzen konnte. Sprachliche Überbleibsel sind das deutsche Wort Dutzend für 12, die nächsthöhere Zahl war 60 (ein Schock).

Die Ziffern haben eine durch Konvention festgelegte Reihenfolge ihres Wertes. Beim Hochzählen (das entspricht der Addition einer Eins) wird in dieser Reihenfolge zur nächsten Ziffer übergegangen. Bei der Addition einer Eins auf die höchstwertigste Ziffer wird auf die niederwertigste Ziffer übergegangen, und auf der nächsthöheren Stelle wird eine Eins addiert.

Dazu werden die Ziffern je nach ihrer Stelle unterschiedlich bewertet, wobei der Stellenwert - beginnend bei 0 - zugleich eine Potenz der Basis ist. Beim Dezimalsystem heißt es auch „Einerstelle“ (für 10⁰=1), „Zehnerstelle“ (für 10¹=10), „Hunderterstelle“ (für 10²=100). Die Stelle mit der niedrigsten Bewertung steht dabei ganz rechts. Die Berechnung des Zahlenwertes erfolgt dann durch Multiplikation der einzelnen Ziffernwerte mit den zugehörigen Stellenwerten und der Addition dieser Produkte.^[1] In gleicher Weise sind Umrechnungen zwischen den verschiedenen Zahlensystemen möglich.

Auf diese Weise lässt sich in einem Stellenwertsystem jede natürliche Zahl darstellen. Für die Erweiterung auf negative Zahlen wird als Vorzeichen links vor die Ziffernfolge ein Minuszeichen gesetzt. Durch die Verwendung negativer Exponenten lassen sich in einem Stellenwertsystem auch rationale Zahlen darstellen: so steht 10^-1 für die Dezimalzahl 0,1. Diese vielfältigen Darstellungsmöglichkeiten sind bei anderen Zahlensystem oft nicht möglich.

3 Misch- und Hybridsysteme

Das römische Zahlensystem ist eine Mischung von Additionssystem und Stellenwertsystem. Steht die kleinere Ziffer rechts von einer größeren, so wird sie addiert; steht sie links davon, so wird sie subtrahiert. Entsprechend beginnen große Zahlen wie bei Stellenwertsystem meist mit der höchstwertigen Zahl: XI steht für 11 und IX für 9; XV steht für 15 und XIV für 14. Auch das milesische System ist eine Mischform.

Eine andere Weiterentwicklung sind Hybridsysteme. Hierbei wird eine Grundziffer einem Zeichen vorangestellt, das eine Potenz der Basis wiedergibt; die Werte beider werden miteinander multipliziert. In den europäischen Zahlensystemen kamen solche Hybridsysteme so gut wie nicht vor, wohl aber, schon seit Beginn des 2. Jahrtausends v. Chr., in Mesopotamien, später auch in China und im Nahen Osten allgemein. Sowohl aus Äthiopien als auch aus Südindien und Sri Lanka sowie der Maya-Kultur sind solche hybriden Zahlensysteme bekannt.

Beispiele im japanisch-chinesischen Zahlensystem:

    23:  二十三  (2 × 10 + 3)
30.000:  三万    (3 × 10.000)

4 Literatur

Georges Ifrah: Universalgeschichte der Zahlen. 2. Auflage. Campus-Verlag, Frankfurt/Main 1987, ISBN 3-593-33666-9.
John D. Barrow: Warum die Welt mathematisch ist. Campus-Verlag, Frankfurt/Main 1993, ISBN 3-593-34956-6.
Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. Band 5: Sed bis Zyl. 2. Auflage. Springer, Mannheim 2017, S. 442 f. (Zahlsystem).

5 Weblinks

Commons: Numeral systems – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Online-Umrechner für verschiedene Zahlensysteme (JavaScript)
Zahlen in beliebige Zahlensysteme umrechnen
Online-Tool zum gleichzeitigen Konvertieren der Zahlensysteme (PHP)
Es werde Zahl! Artikel zur Geschichte der Zahlensysteme mit Tabellen von ägyptischen Zahlhieroglyphen, hieratischen Zahlen und Keilschriftzahlen.