Lorentz-Transformation

Die Lorentz-Transformation ist die grundlegende mathematische Struktur der Speziellen Relativitätstheorie; aus ihr folgen u. a. die Längenkontraktion und die Zeitdilation. Sie stellt eine Transformation der Weg-Koordinaten und der Zeit beim Übergang von einem System I (Inertialsystem) zu einem anderen I′ dar, wobei das zweite System gegenüber dem Ausgangssystem gleichförmig bewegt ist. Entscheidend ist dabei, dass die zweite Aussage von Albert Einstein, wonach die Geschwindigkeit des Lichtes in allen Bezugssystemen konstant ist, in der Lorentz-Transformation mathematisch umgesetzt wurde. Bewegen sich die beiden Inertialsysteme mit der Geschwindigkeit v relativ zueinander und bilden die x-, y und z-Achse ein Koordinatensystem, so kann daraus ein Gleichungssystem entwickelt werden. Die Werte x und x′ beschreiben die Bewegung, die y- und z-Werte bleiben dabei zunächst gleich.

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1 Koordinaten-Schreibweise

Vom Ruhesystem I aus betrachtet:

t′ =   t - vx/c2 √ 1 - v2/c2
x′ =   x - vt √ 1 - v2/c2
y′ = y
z′ = z

Vom bewegten System I′ aus betrachtet:

t =   t′ + vx′/c2 √ 1 - v2/c2
x =   x′ + vt′ √ 1 - v2/c2
y = y′
z = z′

2 Matrix-Schreibweise

Die Lorentz-Transformation wird in unterschiedlichen Stufen der Mathematisierung dargestellt - meistens wird die Matrix-Schreibweise bevorzugt, die nachfolgend anhand der Betrachtung aus dem Ruhesystem heraus in mehreren Schritten beschrieben werden soll.

Aus den oben bereits dargestellten Gleichungen ergibt sich umgeformt:

t′ =   1 t - v/c2 x √ 1 - v2/c2 √ 1 - v2/c2
x′ =   - v t + 1 x √ 1 - v2/c2 √ 1 - v2/c2
y′ = y
z′ = z

Schreibweise als Gleichungssystem mit ct, nach Multiplikation mit Lichtgeschwindigkeit c:

ct′ =   1 ct - v/c x √ 1 - v2/c2 √ 1 - v2/c2
x′ =   - v/c ct + 1 x √ 1 - v2/c2 √ 1 - v2/c2
y′ = y
z′ = z

Schreibweise mit

β =	v	und    γ =	1
	c		√ 1 - β2

ct′ = γct - γβx

x′ = -γβct + γx

y′ = y

z′ = z

Eine einzelne Lorentztransformation ist eine Abbildung LT : R⁴ → R⁴, welche den Spaltenvektor (ct,x,y,z) nach dem transformierten Vektor (ct′,x′,y′,z′) abbildet. Wobei die Abbildungsvorschrift besagt, dass die 4×4-Matrix welche dem Gleichungssystem zugeordnet war mit dem Spaltenvektor (ct,x,y,z), d.h. einer 4×1-Matrix, mulitpliziert wird, so dass dieses Produkt dann dem transformierten Vektor (ct′,x′,y′,z′), d.h. einer 4×1-Matrix, entspricht.

ct′  =  x′ y′ z′

γ     -γβ     0     0     -γβ     γ     0     0     0     0     1     0     0     0     0     1

ct x y z

3 Herleitung

Figur 1. Zwei Inertialsysteme

Ein Lichtstrahl bewegt sich im Inertialsystem I mit der Lichtgeschwindigkeit c und es gilt, dass er die Entfernung x in der Zeit t zurücklegt. Somit:

x = ct

Wenn vom bewegten System I′ aus die Bewegung des Lichtstrahls beschrieben werden soll, dann ist die Geschwindigkeit v, mit der sich I′ bewegt, von der Lichtgeschwindigkeit, mit der sich der Lichtstrahl bewegt, zu subtrahieren. Somit gemäß Figur 1:

x′ = ct - vt = (c - v)t

Der Lichtstrahl bewegt sich also im System I′ nur mit der Geschwindigkeit (c - v). Das steht im Widerspruch zum zweiten Postulat von Albert Einstein, wonach die Geschwindigkeit des Lichtes in allen Systemen konstant sein soll. Aufgrund dieser Betrachtungsweise muss also eine Korrektur stattfinden. Dazu wird ein Korrekturfaktor γ eingeführt. Somit:

x′ = γ(c - v)t = γ(ct - vt)

Somit:

x′ = γ(x - vt)

Da sich das System I′ mit der Geschwindigkeit v relativ zu I bewegen soll, gilt, wenn sich der Lichtstrahl im System I′ bei:

x′ = 0

befindet, der Ort:

x = vt′

Dann gilt ebenfalls die Gleichung:

x = γ(x′ + vt′)

Somit besteht die Aufgabe der Herleitung daraus, γ zu bestimmen. Ein Lichtstrahl muss sich nach dieser Betrachtungsweise im System I und I′ jeweils mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten. Aus

x = ct

folgt

x′ = ct′
x′ = γ(x - vt) = γ(ct - vt) = γ(ct)(1 - v/c) = γx(1 - v/c)

Entsprechend kann die Ausbreitung des Lichtstrahls in I betrachtet werden:

x = γ(x′ + vt′) = γ(ct′ + vt′) = γ(ct′)(1 + v/c) = γx′(1 + v/c)

Aus das Produkt von x′ und x folgt:

x′x =	[γx(1 - v/c)] [γx′(1 + v/c)]
x′x =	γ2xx′(1 - v2/c2)
1 =	γ2(1 - v2/c2)
γ2 =	(1 - v2/c2)

Also ist der Korrekturfaktor γ:

γ =	1
	√ 1 - v2/c2

So dass gilt:

x′ =	x - vt
	√ 1 - v2/c2

und

x =	x′ + vt′
	√ 1 - v2/c2

4 Siehe auch

• Relativitätstheorie
• Lorentz-Gruppe
• Lorentz-Transformation und Minkowski-Raum

5 Weblinks

• Lorentztransformation - homepage.univie.ac
• Die Raum-Zeit-Geometrie - theory.gsi.de