Lorentz-Gruppe
Die Lorentz-Gruppe stellt eine mathematisch-physikalische Struktur dar, die sich auf unterschiedlichen Ebenen der mathematischen Abstraktion präsentiert und zeigt, dass bezüglich der Lorentz-Transformation die Gruppenaxiome erfüllt werden.
Inhaltsverzeichnis
|
Übrigens: Die PlusPedia ist NICHT die Wikipedia. Wir sind ein gemeinnütziger Verein, PlusPedia ist werbefrei. Wir freuen uns daher über eine kleine Spende! |
1 Gruppe
Als Gruppe allgemein wird eine Menge G bezeichnet, auf der eine Verknüpfung # erklärt ist und für die die Gruppenaxiome gelten:
- G1: Für alle g, h ∈ G gilt die Abgeschlossenheit mit g # h ∈ G.
- G2: Für alle g, h, j ∈ G gilt das Assoziativgesetz mit (g # h) # j = g # (h # j).
- G3: Es gibt ein Einselement e ∈ G, so dass für alle g ∈ G die Gleichung e # g = g # e = g gilt.
- G4: Zu jedem g ∈ G gibt es ein inverses Element g′ ∈ G, so dass die Gleichung g′ # g = g # g′ = e gilt.
2 Lorentz-Gruppe einfach
Eine einzelne Lorentztransformation ist eine Abbildung LT : R4 → R4, welche den Spaltenvektor ( ct, x, y, z ) nach dem transformierten Vektor ( ct′, x′, y′, z′ ) abbildet. Wobei die Abbildungsvorschrift besagt, dass die 4×4-Matrix welche dem Gleichungssystem zugeordnet war mit dem Spaltenvektor ( ct, x, y, z ), d.h. einer 4×1-Matrix, mulitpliziert wird, so dass dieses Produkt dann dem transformierten Vektor ( ct′, x′, y′, z′ ), d.h. einer 4×1-Matrix, entspricht.
Somit:
LT : R4 → R4
|
|
|
Wobei
| β = | v | und γ = | 1 |
| c |
|
Die Lorentz-Transformationen unterscheiden sich (sind abhängig) von den Boostgeschwindigkeiten v0, v1 :
LT0 : R4 → R4
|
|
|
| β0 = | v0 | und γ = | 1 |
| c |
|
und
LT1
: R4 → R4
|
|
|
| β1 = | v1 | und γ = | 1 |
| c |
|
Da die Verknüpfung # zweier LT s als Hintereinanderausführung zu denken ist, kann nunmehr eingefügt werden:
LT10 : R4 → R4
|
|
|
|
Somit reduziert sich die Verknüpfung # zweier Lorentztransformationen auf die Matrizenmultiplikation, welche anhand eines Beispiels mit 2x2-Matrizen dargestellt werden soll:
|
|
|
ct′′ = γ0γ1(1 + β0β1)ct - γ0γ1(β0 + β1)x
x′′ = -γ0γ1(β0 + β1)ct + γ0γ1(1 + β0β1)x
Da jede Lorentztransformation von der mathematischen Struktur gleich bleiben soll, können nachfolgend γ2 und γ2β2 per Koordinatenvergleich bestimmt und danach die Geschwindigkeit v2 berechnet werden:
ct′′= γ2ct - γ2β2x
x′′ = -γ2β2ct + γ2x
Somit würde dann gelten:
γ2β2 = γ0γ1β0 + γ0γ1β1 = γ0γ1(β0 + β1)
γ2 = γ0γ1 + γ0γ1β0β1 = γ0γ1(1 + β0β1)
Bildet man den Quotienten:
| γ2β2 | = | γ0γ1(β0 + β1) |
| γ2 | γ0γ1(1 + β0β1) |
Somit:
| β2 = | β0 + β1 |
| 1 + β0β1 |
| v2 | = | v0/c + v1/c |
| c | 1 + (v0/c)(v1/c) |
Also:
| v2 = | v0 + v1 |
| 1 + v0v1/c2 |
diese Formel wird als Relativistische Addition bezeichnet und stellt den Rechen-Algorithmus für die Verknüpfung der Gruppenelemente, d.h. der LT s, dar, so dass geschrieben werden kann LT2 = LT1 # LT0.
Somit ergibt sich die Formel für die "Relativistische Addition" auch aus der Verknüpfung von zwei LT s per Matrizenmultiplikation.
3 Beispiel Prüfung Gruppenaxiome
3.1 G1 Abgeschlossenheit
Es soll überprüft werden, ob die Verknüpfung zweier Lorentz-Transformationen mit den Geschwindigkeiten
v0 = c/2 und v1 = c/3
wiederum eine LT ergibt, die Element der Menge G ist.
| v2 = | v0 + v1 |
| 1 + v0v1/c2 |
| v2 = | c/2 + c/3 | = | 5c/6 | = | 5c/6 | = 5c/7 |
| 1 + (c/2)(c/3)/c2 | 1 + 1/6 | 7/6 |
Somit gilt:
LT(c/2) # LT(c/3) = LT(5c/7) , d.h. LT(5c/7) ∈ G.
und somit gilt in diesem Fall G1 "Abgeschlossenheit".
3.2 G2 Assoziativgesetz
Es soll überprüft werden, ob die Verknüpfung dreier Lorentz-Transformationen mit den Geschwindigkeiten
v0 = c/3, v1 = c/2 und v2 = 4c/7
das Assoziativgesetz:
LT(c/3) # (LT(c/2) # LT(4c/7)) = (LT(c/3) # LT(c/2)) # LT(4c/7)
erfüllt.
| v12 = | v1 + v2 | = | c/2 + 4c/7 | = 5c/6 |
| 1 + v1v2/c2 | 1 + (c/2)(4c/7)/c2 |
| v012 = | v0 + v12 | = | c/3 + 5c/6 | = 21c/23 |
| 1 + v0v12/c2 | 1 + (c/3)(5c/6)/c2 |
| v01 = | v0 + v1 | = | c/3 + c/2 | = 5c/7 |
| 1 + v0v1/c2 | 1 + (c/3)(c/2)/c2 |
| v012 = | v01 + v2 | = | 5c/7 + 4c/7 | = 21c/23 |
| 1 + v01v2/c2 | 1 + (5c/7)(4c/7)/c2 |
Also gilt:
LT(c/3) # (LT(c/2) # LT(4c/7)) = LT(21c/23)
und
(LT(c/3) # LT(c/2)) # LT(4c/7) = LT(21c/23)
3.3 G3 Neutrales Element
| LT(0) = |
|
||||||||||||||||||||||||
LT(0) # LT(v) = LT(v) # LT(0) = LT(v)
3.4 G4 Inverses Element
LT(-v) # LT(v) = LT(0)
4 Siehe auch
5 Literatur
- Hans Kurzweil, Bernd Stellmacher: Theorie der endlichen Gruppen - eine Einführung. Springer, Berlin 1998, ISBN 3-540-60331-X.
- Max Wagner: Gruppentheoretische Methoden in der Physik: Ein Lehr- und Nachschlagewerk. Springer, Berlin, Auflage: 1 (10.Januar 2001), ISBN 3-540-415289
6 Weblinks
- Gruppentheorie – eine Einführung in die Gruppentheorie auf Matroids Matheplanet
- Tutorium - uni-ka.the-jens.de
- Die Raum-Zeit-Geometrie - theory.gsi.de
Hast du einen Löschwunsch oder ein anderes Anliegen? Dann nutze bitte unser Kontaktformular
PlusPedia Impressum
| Diese Seite mit Freunden teilen: |
 |
 |
Bitte Beachte:
Sämtliche Aussagen auf dieser Seite sind ohne Gewähr.
Für die Richtigkeit der Aussagen übernimmt die Betreiberin keine Verantwortung.
Nach Kenntnissnahme von Fehlern und Rechtsverstößens ist die Betreiberin selbstverständlich bereit,
diese zu beheben.
Verantwortlich für jede einzelne Aussage ist der jeweilige Erstautor dieser Aussage.
Mit dem Ergänzen und Weiterschreiben eines Artikels durch einen anderen Autor
werden die vorhergehenden Aussagen und Inhalte nicht zu eigenen.
Die Weiternutzung und Glaubhaftigkeit der Inhalte ist selbst gegenzurecherchieren.
