Normalisierung (Mathematik)

Normalisierung bedeutet in der Informatik und Statistik die Skalierung des Wertebereichs einer Variablen auf einen bestimmten Bereich, üblicherweise zwischen 0 und 1 (bzw. 100 Prozent).

Normalisierung kann dazu dienen, Ergebnisse mit unterschiedlicher Grundlage vergleichbar zu machen. Zum Beispiel kostet der Kauf eines Hauses einen Millionär genauso viel wie einen Sozialhilfeempfänger. Das Gefühl, dass das Haus für den Millionär viel weniger kostet als für den Armen, kann man explizit machen, indem man den Hauspreis in Relation zum jeweiligen Jahreseinkommen setzt und ihn so auf Prozentsatz-Basis normalisiert.

Viele numerische Rechenverfahren sind darauf angewiesen, dass der Wertebereich bei Iterationen einer Funktion weder zu groß noch zu klein wird, da der Algorithmus sonst numerische Instabilität zeigt. In diesen Fällen bietet die Renormierung einen Ausweg. Um bestehende Werte zwischen min und max in einen Bereich zwischen min_norm (z. B. 0) und max_norm (z. B. 1) zu normalisieren, wird folgende Formel angewandt:

<math>v'=(v-min) \cdot \frac{max_\mathrm{norm} - min_\mathrm{norm}}{max-min}+min_\mathrm{norm}</math>

wobei max − min der alten Wertespanne und max_norm − min_norm der neuen, normalisierten Wertespanne entsprechen.

Normalisieren bedeutet außerdem das Einführen neuer Variablen — die sich nur in einem Faktor unterscheiden — in eine Funktion, um eine Gleichung zu vereinfachen:

<math> \begin{matrix} y &=& a \cdot \sin (b \cdot x),~ {\rm mit}~~ \bar x = { b \cdot x},~ \bar y = { y \over a} \\

\bar y &=& \sin \bar x\end{matrix}</math>

Diese Vorgehensweise dient zum Beispiel dazu, die Gleichung auf grundlegende Funktionen zurückzuführen — eine in der Integration durch Substitution unverzichtbare Methode — oder Formeln geometrischer Kurven in eine bestimmte standardisierte Darstellung zu bringen. siehe auch: Koordinatentransformation

Speziell bei Gleitkommazahlen versteht man unter Normalisierung, dass deren Exponent so angepasst wird, dass die Mantisse der Zahl entweder genau eine von Null verschiedene Vorkommastelle aufweist oder (anderer Ansatz) die Vorkommastelle immer Null ist, aber die erste Hinterkommastelle immer von Null verschieden ist.

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1 Literatur

Lothar Papula: Mathematische Formelsammlung für Ingenieure und Naturwissenschaftler, 8. Auflage, Viewegs Fachbücher der Technik, 2003, ISBN 3-528-74442-1