Koordinatentransformation

Koordinatentransformation ist die Änderung bzw. Umrechung der Koordinaten beim Wechsel zu einem anderen Koordinatensystem - dies geschieht meistens durch Transformationsgleichungen.

Inhaltsverzeichnis

1 Translationen (Verschiebungen)
2 Kartesische Koordinaten und Polarkoordinaten
3 Drehung (Rotation)
4 Scherung
5 Skalierung (Maßstabsänderung)
6 Symmetrietransformationen
7 Weblinks
8 Siehe auch
9 Vergleich zu Wikipedia

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1 Translationen (Verschiebungen)

Translation mit den folgenden allgemeinen Transformationsgleichungen:

x' = x - a

y' = y - b

z' = z - c

Beispiel:

x' = x + 1

y' = y + 2

2 Kartesische Koordinaten und Polarkoordinaten

Im Polarkoordinatensystem wird ein Punkt durch den Radius r und den Winkel Θ bestimmt. Diese Polarkoordinaten sind in die kartesischen Koordinaten x und y umzurechen:

x = r * cos Θ

y = r * sin Θ

Vom Kartesischen Koordinatensystem zum Polarkoordinatensystem:

r = sqrt (x² + y²)

Θ = arctan y/x

3 Drehung (Rotation)

Eine Drehung (Rotation) eines Koordinatensystems erfolgt unter Änderung des Drehwinkels und Beibehaltung der Lage des darzustellenden Punktes P. Somit hat ein Punkt, welcher die Koordinaten P(x;y) hatte dann im transformierten Koordinatensystem die Koordinaten:

x' = x * cos φ + y * sin φ

y' = - x * sin φ + y * cos φ

4 Scherung

Der Winkel ändert sich bei der Scherung, so dass geometrische Figuren nach der Koordinatentransformation Scherung eine andere Form haben.

5 Skalierung (Maßstabsänderung)

Die Skalierung ist eine Maßstabsänderung auf den Achsen des Koordinatensystems. Dabei behält ein darzustellender Punkt die gleichen Koordinaten - allerdings ist seine Lage im beiden Koordinatensystemen unterschiedlich.

6 Symmetrietransformationen

Bleiben Eigenschaften eines Systems der Physik nach einer Koordinatentransformation unverändert - d.h. bleibt es bezüglich der Eigenschaft invariant - so spricht man von Symmetrietransformationen.

Beipiel Lorentztransformation der Speziellen Relativitätstheorie:

Nimmt man die Lorentztransformation, die durch die folgenden Transformationsgleichungen dargestellt wird:

Vom Ruhesystem I aus betrachtet:

x' = (x - vt)/sqrt(1 - v²/c²)

y' = y

z' = z

t' = (t - vx/c²)/sqrt(1 - v²/c²)

so stellt man fest, dass eine Bewegung, die im ruhenden Bezugssystem BS mit c stattfindet, auch im bewegten Bezugssystem BS' diese Geschwindigkeit hat, obwohl sich die Weg- und Zeit-Koordinaten ansonsten durchaus ändern.

Rechenbeispiel:

In BS t1 = 50 s und c = 300000 km/s und somit x1 = t1 * c = 50 s * 300000 km/s = 15000000 km

In BS' mit Geschwindigkeit von BS' mit v = 0,5 * c, dann

t1' = (t - vx/c²)/sqrt(1 - v²/c²) = (50 - 0,5*c*50*c/c²)/sqrt(1-(0,5*c/c)²)=(50-25)/sqrt(0,75)=25/sqrt(0,75)=

=28.86751345948129 s

x' = (x - vt)/sqrt(1 - v²/c²) = (50*c - 0,5*c*50)/sqrt(0,75)=25*c/0.86602540378444=28.86751345948124311758*c

Errechnung der Geschwindigkeit in BS':

c' = x'/t' = 28.86751345948124311758*c / '28.86751345948129 s = c'

Somit c' = c, d.h. eine Bewegung, welche in BS die Geschwindigkeit c hat, besitzt auch in BS' c.