Nichteuklidische Geometrie

Die nichteuklidische Geometrie ist eine Weiterentwicklung der euklidischen Geometrie. Sie unterscheidet sich von dieser insofern, als folgende Grundsätze bzw. Axiome nicht gelten:

das Parallelenaxiom und
die Winkelsumme eines Dreiecks zu 180°.

Eine praktische Anwendung ist bereits die Kartografie auf dem Globus, weil ein Dreieck dort z.B. drei rechte Winkel und somit eine Winkelsumme von 270° haben kann (gebildet aus den Meridianen bei 0° und 90° sowie dem Äquator).

Als Wegbereiter gilt vor allem Bernhard Riemann. Anfang des 19. Jahrhunderts befassten sich auch die Mathematiker János Bolyai und Nikolai Lobatschewski mit dem Thema.

1 Geschichte

Carl Friedrich Gauß misstraute bereits mit zwölf Jahren der Beweisführung in der elementaren Geometrie und ahnte mit 16 Jahren, dass es neben der traditionellen euklidischen Geometrie noch eine nichteuklidische Geometrie geben musste.^[1] Zwischen 1818 und 1826 leitete Gauß die Hannoversche Landesvermessung und entwickelte dabei Verfahren mit erheblich gesteigerter Genauigkeit. In diesem Zusammenhang entstand die Vorstellung, er habe nach einer Krümmung des Raumes gesucht, indem er die Winkelsumme in einem Dreieck vermaß, das vom Brocken im Harz, dem Inselsberg im Thüringer Wald und dem Hohen Hagen bei Göttingen gebildet wird. Sie wird heute mehrheitlich als Legende angesehen, auch wenn die Möglichkeit, Gauß habe nach Abweichungen vom üblichen Wert der Winkelsumme von 180° gesucht, nicht mit letzter Konsequenz ausgeschlossen werden kann. Möglich ist aber, dass er dabei bereits geringe Abweichungen feststellte. Erst sein Schüler Bernhard Riemann hat die Differentialgeometrie gekrümmter Räume entwickelt und 1854 vorgestellt. Zu dieser Zeit erwartete niemand eine physikalische Relevanz dieses Themas. Tullio Levi-Civita, Gregorio Ricci-Curbastro und Elwin Bruno Christoffel bauten die Differentialgeometrie weiter aus. Albert Einstein fand in ihren Arbeiten eine Vielzahl an mathematischen Werkzeugen für seine allgemeine Relativitätstheorie.