Längenverkürzung

Längenverkürzung oder auch Längenkontraktion werden als Vokabeln oftmals im Zusammenhang mit der Relativitätstheorie oder der Lorentztransformation benutzt. Der Begriff Längenkontraktion hat sich im Rahmen der Speziellen Relativitätstheorie etabliert - allerdings existieren hierzu auch kritisierende Ansätze, so dass nachfolgend das Thema aus unterschiedlichen Perspektiven beschrieben werden soll.

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1 Relativistische Längenkontraktion

Die Formel lautet:
L'=L_0 * sqrt(1 - v²/c²)
Ein Objekt - oder als Beispiel ein Stab - im ruhenden Bezugssystem I hat die Länge L_0 und hätte nach dieser Transformation dann die Länge L' im sich bewegenden Bezugssystem I'.

Beispiel:

gegeben:

v=0,4*c

L_0=18000000 km

Formel:

L'=L_0 * sqrt(1 - v²/c²)

Rechnung:

L'=18000000*sqrt(1-(0,4*c/c)²)

L'=18000000*sqrt(1-0,4²)

L'=18000000*sqrt(1-0,16)

L'=18000000*sqrt(0,84)

L'=16497272,50184102402372 km mit Formel

L'=11 783 766,072743568 mit Berechnung per LT.

2 Längenverkürzung gemäß Lorentz-Transformation

Albert Einstein verwendete in seinem Werk "Zur Elektrodynamik bewegter Körper" die Lorentz-Transformation, durch die Koordinaten von einem ruhenden in ein bewegtes Bezugssystem übertragen werden.

2.1 Lorentz-Transformation

Lorentz-Transformation

Bei Albert Einstein in seinem Werk "Zur Elektrodynamik bewegter Körper":

τ = β*(t - v/V² * x)

ξ= β*(x - v * t)

η = y

ζ = z

wobei:

β = 1/sqrt(1 - (v/V)²)

γ = sqrt(1 - (v/V)²)

In anderer physikalischer Notation:

Vom Ruhesystem I aus betrachtet:

x' = (x - vt)/sqrt(1 - v²/c²)

y' = y

z' = z

t' = (t - vx/c²)/sqrt(1 - v²/c²)

Vom bewegten System I' aus betrachtet:

x = (x' + vt')/sqrt(1 - v²/c²)

y = y'

z = z'

t = (t' + vx'/c²)/sqrt(1 - v²/c²)

2.2 Berechnung der Längenverkürzung unter Anwendung der Lorentz-Transformation

Ausgangspunkt dieser Berechnung ist, dass verschiedene Orte in einem x-t-Koordinatensystem auch unterschiedliche Zeiten haben müssen, wenn die Geschwindigkeit nicht unendlich sein soll. Insofern wird angenommen, dass sich im ruhenden Bezugssystem I ein Messsignal mit Lichtgeschwindigkeit ausbreitet und dadurch die Strecken x1 und x2 sowie die Zeiten t1 und t2 bestimmt werden. Danach werden dann per Lorentz-Transformation die Strecken x1' und x2' berechnet:

x' = (x - vt)/sqrt(1 - v²/c²)

y' = y

z' = z

t' = (t - vx/c²)/sqrt(1 - v²/c²)

Somit ergeben sich die Längen:
L_0 = x2 - x1
und
L' = x2' - x1'

Beispiel:

t' = [t - (v/c²)*x]/sqrt(1 - v²/c²)
x' = [x - v*t)/sqrt(1 - v²/c²)
y' = y
z' = z

v=0,4*c=0,4*300000=120000 km/s

x1=9 000 000 km

x2=27 000 000 km

x=c*t ==> t=x/c

t1=x1/c= 9000000/300000=30 s

t2=x2/c= 27000000/300000=90 s

L_0=(x2-x1)=c*(t2-t1)=300000*60=18000000 km

β=1/sqrt(1-(v/c)²)

β=1/sqrt(1-(0,4*c/c)²

β=1/sqrt(1-0,16)

β=1/sqrt(0,84)

β=1,09108945117996

Entfernungen und Zeiten werden in I per Lichtstrahl festgestellt:

x1'=(x1 – 0,4*c*t1)/sqrt(1-(0,4*c/c)²)=(x1 – 0,4*c*t1)*1,09108945117996=(9 000 000-0,4*300000*30)* 1,09108945117996=5 891 883,036371784km

x2'=(x2 – 0,4*c*t2)*1,09108945117996=(27 000 000-0,4*300000*90)* 1,09108945117996=17 675 649,109115352 km

t1'=[t1 - (v/c²)*x1]/sqrt(1 – v²/c²)=(30-(0.4/300000)*9 000 000)*1,09108945117996=19,63961012123928 s

t2'=[t2 - (v/c²)*x1]/sqrt(1 – v²/c²)=(90-0,4*27 000 000/300000)*1,09108945117996=58,91883036371784

L' = x2'-x1'=17675649,109115352 - 5891883,036371784 = 11 783 766,072743568 km

Probe:

c'=L'/(t2'-t1')=11783766,072743568/(58,91883036371784 -19,63961012123928) =300000=c'=c

L'=11 783 766,072743568

Weitere Beispiele:

v	0,2*c	0,5*c	0,7*c	0,9*c
c	300000	300000	300000	300000
t1	20	20	20	20
t2	50	50	50	50
x1	6000000	6000000	6000000	6000000
x2	15000000	15000000	15000000	15000000
Lruh	9000000	9000000	9000000	9000000
t1'	16,33	11,55	8,4	4,59
t2'	40,82	28,87	21	11,47
x1'	4898979,49	3464101,62	2520504,15	1376494,4
x2'	12247448,71	8660254,04	6301260,38	3441236,01
L'bew	7348469,23	5196152,42	3780756,23	2064741,61
Lruh - L'bew	1651530,77	3803847,58	5219243,77	6935258,4

v	0*c	0,99999*c	0,5*c
c	300000	300000	300000
t1	20	20	0
t2	50	50	50
x1	6000000	6000000	0
x2	15000000	15000000	15000000
Lruh	9000000	9000000	15000000
t1'	20	0,04	0
t2'	50	0,11	28,87
x1'	6000000	13416,44	0
x2'	15000000	33541,1	8660254,04
L'bew	9000000	20124,66	8660254,04
Lruh-L'bew	0	8979875,34	6339745,96

3 Weblinks

• A._Einstein:_Kommentare_und_Erläuterungen:_Zur_Elektrodynamik_bewegter_Körper:_Einleitung

5 Siehe auch

Lorentz-Transformation

6 Andere Lexika

• Längenverkürzung