Modell des Transformators

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Es gibt verschiedene Modelle zur Beschreibung eines Transformators. Das vereinfachte Modell wird als idealer Transformator bezeichnet, der die grundlegenden Gesetzmäßigkeiten dargestellt, um diese dann durch eine detaillierte Darstellung im Rahmen des realen Transformators zu erweitern.

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1 Idealer Transformator

Idealer Transformator

Der ideale Transformator ist durch einen Übersetzungsfaktor γ zwischen elektrischen Strömen i (t) und zwischen elektrischen Spannungen u (t) gekennzeichnet. Dabei werden die Widerstände R₁ und R₂ der Primär- beziehungsweise Sekundärwicklung mit R₁ = R₂ = 0 Ω angenommen. Er arbeitet verlustfrei und ohne Verzögerung. Durch das Ohmsche Gesetz ergibt sich jedoch, dass dies in der Realität nicht umsetzbar ist; das Modell dient nur der Vereinfachung.

Der ideale Transformator kann damit als elektrischer Vierpol mit den Eingangsgrößen u₁(t) und i₁(t), den Ausgangsgrößen u₂(t) und i₂(t) sowie dem Übertragungsfaktor γ ≠ 0 beschrieben werden.

Die Größen u₁(t) und i₁(t) heißen Primärgrößen des Transformators. Die Größen u₂(t) und i₂(t) heißen Sekundärgrößen des Transformators. Für einen Übertragungsfaktor γ größer als 0 heißt der Transformator „gleichsinnig gewickelt“, für γ kleiner als 0 heißt er „gegensinnig gewickelt“. In der deutschsprachigen Literatur wird anstelle des Symbols γ häufig auch der Buchstabe ü für die Bezeichnung des Übertragungsfaktors verwendet.

Primär- und Sekundärseite sind galvanisch getrennt. Für die Richtungen von Strömen und Spannungen gelten im Zusammenhang mit den Formeln die rechts in der Abbildung dargestellten Zählpfeile.

Zudem sind die Windungszahlen N₁, N₂ zu berücksichtigen, so dass sich folgende Beziehung ergibt:

U1		N1
	=		=	ü
U2		N2

Der ideale Transformator ist ein reiner Energiewandler, bei dem keine Verluste entstehen. Die angenommen primärseitig in den Transformator eingespeiste Leistung P₁ ist zu jedem Zeitpunkt gleich der dem Transformator sekundärseitig entnommenen Leistung P₂ also P₁ = P₂.

Aus den Gleichungen ergibt sich über die Formel für die elektrische Leistung P = I * U somit U₁ * I₁ = U₂ * I₂ und dann

U1		U2
	=
I2		I1

Als einfacher Gedankenstütze kann dabei dienen: Auf der Seite mit dem höheren Strom stellt sich die geringere Spannung ein und umgekehrt.

2 Verlustloser Transformator

Ausgehend vom idealen Transformator wird der verlustlose Transformator durch einen magnetischen Kreis beschrieben, in welchem magnetische Flüsse, mit dem Symbol Φ bezeichnet, auftreten. Elektrisch wird dieses Verhalten durch Induktivitäten beschrieben. Das Kernmaterial des magnetischen Kreises ist dabei frei von Sättigungseffekten und mit konstanten Leitfähigkeiten angenommen.

Die ideale Voraussetzung, dass die magnetische Flussdichte in den beiden Spulen auf Primär- und Sekundärseite identisch ist, wird wegen des endlich großen magnetischen Widerstandes des Kernmaterials und durch die räumliche Anordnung und Größe der Wicklungen nur näherungsweise erreicht. Die Folge davon sind Streuflüsse welche in Form von Streuinduktivitäten modelliert werden.

Magnetisch gekoppeltes Spulenpaar

Kopplungskoeffizient

Das nebenstehende Bild zeigt die verwendeten Größen und den Richtungssinn der Spulenwicklungen. Der magnetische Fluss Φ ist definitionsgemäß rechtshändig mit den entsprechenden Strömen gekoppelt.

Nimmt man gleichsinnig gewickelte Spulen an und bezeichnet der einschlägigen Fachliteratur folgend mit

1. Φ₁ den Fluss, den die Primärspule erzeugt
2. Φ_σ1 den Streufluss der Primärspule, d. h. der Fluss der Primärspule, der nicht in die Sekundärspule gelangt
3. Φ₁₂ den Fluss, der von der Primärspule in die Sekundärspule gelangt
4. Φ₂ den Fluss, den die Sekundärspule selbst erzeugt
5. Φ_σ2 den Streufluss der Sekundärspule, d. h. den Fluss der Sekundärspule, der nicht in die Primärspule gelangt
6. Φ₂₁ den Fluss, der von der Sekundärspule in die Primärspule gelangt

Damit ergeben sich in der Primär- und Sekundärspule die Flüsse:

<math>\Phi_{1} = \Phi_{\sigma 1} + \Phi_{12}</math>

<math>\Phi_{2} = \Phi_{\sigma 2} + \Phi_{21}</math>

Die primäre Gesamtinduktivität L₁ bzw. sekundäre Gesamtinduktivität L₂ ist dann:

<math>L_1 = \frac{n_1 \Phi_1}{i_1}, \qquad L_2 = \frac{n_2 \Phi_2}{i_2}</math>

mit der Windungsanzahl n₁ der Primärseite und n₂ der Sekundärseite. Die primäre Hauptinduktivität L_h1 und primäre Hauptinduktivität L_h2 ist:

<math>L_{h1} = L_1 - L_{\sigma 1} = \frac{n_1 \Phi_{12}}{i_1}, \qquad L_{h2} = L_2 - L_{\sigma 2} = \frac{n_2 \Phi_{21}}{i_2}</math>

Die symmetrische Gegeninduktivität M = M₁₂ = M₂₁ ist:

<math>M = \frac{n_2 \Phi_{12}}{i_2} = L_{h1} \cdot \frac{n_1}{n_2} = (L_1 - L_{\sigma 1}) \cdot \frac{n_2}{n_1} = L_{h2} \cdot \frac{n_2}{n_1} = (L_2 - L_{\sigma 2}) \cdot \frac{n_1}{n_2} = \sqrt{L_{h1} \cdot L_{h2}}</math>

Aus dem Induktionsgesetz folgen die Spannungen an der Primär- und Sekundärspule zu:

<math>u_1(t) = L_1 \cdot \frac{di_1(t)}{dt} + M \cdot \frac{di_2(t)}{dt}</math>

<math>u_2(t) = L_2 \cdot \frac{di_2(t)}{dt} + M \cdot \frac{di_1(t)}{dt}</math>

Durch die Gegeninduktivität M fließt der sogenannte „Magnetisierungsstrom“, welcher die im magnetischen Feld gespeicherte Energie repräsentiert.

Spannungsquellenersatzschaltbild eines verlustlosen Transformators

Bei rein sinusförmigen (harmonischen) Verläufen reduziert sich die zeitliche Ableitung zu einer Multiplikation mit j·ω, wobei ω für die Kreisfrequenz steht, und sie kann in komplexer Schreibweise ausgedrückt werden als:

<math>\underline U_1 = j \omega L_1 \cdot \underline I_1 + j \omega M \cdot \underline I_2 \,</math>

<math>\underline U_2 = j \omega L_2 \cdot \underline I_2 + j \omega M \cdot \underline I_1 \,</math>

Diese Gleichungen bilden die Grundlage für das (nur bei sinusförmigem Verlauf geltende) nebenstehende Ersatzschaltbild mit stromgesteuerten Spannungsquellen. Dieses Ersatzschaltbild mit gesteuerten Spannungsquellen kann in ein Ersatzschaltbild mit einem idealen Transformator überführt werden.

2.1 Ersatzschaltbild

Modellierung eines verlustlosen Transformators mithilfe des Modells des idealen Transformators

Das Ersatzschaltbild wird durch zwei Streuinduktivitäten, L_σ1 auf der Primärseite und L_σ2 auf der Sekundärseite, und der Gegeninduktivität M gebildet. Die Verbindung der beiden Seiten erfolgt über einen idealen Transformator, wie in nebenstehender Abbildung dargestellt.

Für die Induktivitäten gilt der Zusammenhang:

<math>L_{\sigma 1} = (1-k) \cdot L_1 \,</math>

<math>L_{\sigma 2} = (1-k) \cdot L_2 \,</math>

<math>M = \sqrt{L_{h1} \cdot L_{h2}}</math>

Dabei ist k der sogenannte Kopplungsgrad oder auch Kopplungskoeffizient, welcher im Intervall zwischen 0 und 1 liegen kann. Der Kopplungsgrad ist nicht mit dem oben definierten Übertragungsfaktor γ zu verwechseln. Der Kopplungsgrad ist ein Maß dafür, wie gut der magnetische Fluss von einer Spule zur anderen Spule gelangt. Je besser diese Kopplung ist, je besser der magnetische Kern den magnetischen Fluss leitet, desto näher liegt dieser Faktor am Wert 1. Sind die Spulen über den magnetischen Kreis nur sehr schlecht gekoppelt, ist der Faktor nahe dem Wert 0. Der Kopplungsgrad wird über die Gleichung:

<math>k = \frac{M}{\sqrt{L_1 \cdot L_2}} = \sqrt{1 - \sigma} \le 1</math>

definiert. σ drückt den so genannten Streugrad oder Streufaktor des Transformators aus. Ohne Streuinduktivitäten wäre die Hauptinduktivität M gleich <math>\sqrt{L_1 \cdot L_2}</math> und der Streugrad 0. Praktisch ist die Hauptinduktivität immer kleiner, was durch den Streufaktor σ ausgedrückt wird:

<math>\sigma = 1 - \frac{M^2}{L_1 \cdot L_2} \le 1</math>

• 

  Ersatzschaltbild eines verlustlosen Transformators mit gestrichenen Größen

Alternativ kann das Ersatzschaltbild um den idealen Transformator reduziert werden, wenn die Impedanzen der Sekundärseite mittels der Impedanztransformation auf die Primärseite transformiert werden, wie in nebenstehender Abbildung dargestellt. Die auf die Primärseite transformierten Größen sind zur Unterscheidung gestrichen:

<math>\underline Z' = \gamma^2 \cdot \underline Z</math>

<math>L_{\sigma 2}' = \gamma^2 \cdot \underline L_{\sigma 2}</math>

<math>I_2' = {1 \over \gamma} \cdot \underline I_2</math>

<math>U_2' = \gamma \cdot \underline U_2</math>

2.2 Streuinduktivität

Der Begriff der Streuinduktivität beschreibt jene Induktivitätsanteil, welcher bei magnetisch gekoppelten Systemen durch den Streufluss gebildet wird. Die Streuinduktivität wird mit denselben Verfahren und Methoden wie jede andere Induktivität bestimmt, nur dass dabei ausschließlich der Streufluss Φ_σ berücksichtigt wird.

3 Verlustbehafteter Transformator

Ersatzschaltbild eines verlustbehafteten Transformators (T-Ersatzschaltung)

Der verlustbehaftete Transformator weist als Erweiterung des verlustlosen Transformators Übertragungsverluste durch den elektrischen Widerstand der Windungen und Ummagnetisierungsverluste, unter anderem durch Wirbelströme im Kern, auf. Das Modell des verlustbehafteten Transformators stellt ein für viele Anwendungen ausreichend genaues Modell dar.

Die Übertragungsverluste in den Wicklungen werden, wie im nebenstehenden Ersatzschaltbild dargestellt, durch die Wicklungswiderstände R₁ und R₂ der Primär- und Sekundärspule, die sogenannten Kupferverluste, berücksichtigt.

Die Ummagnetisierungsverluste, häufig auch Eisenverluste genannt, sind Verluste, die im magnetischen Kreis wie dem Eisenkern oder dem Ferritkern, entstehen. Sie sind bei über die Luft gekoppelten Transformatoren nicht vorhanden. Es handelt sich dabei um die nichtlinearen Wirbelstromverluste und die ebenso nichtlinearen Hystereseverluste. Sie werden im Sinne einer einfachen Netzwerkberechnung näherungsweise als linearer Widerstand R_Fe modelliert.

Die Größen im Ersatzschaltbild haben die folgende Bedeutung:

M oder L_h1 ist die Hauptinduktivität. Sie ist Ursache des Magnetisierungsstromes, der etwa dem Leerlaufstrom entspricht

R_Fe repräsentiert die Hysterese- und Wirbelstromverluste, R_Fe ist meistens groß gegenüber der Lastimpedanz Z

R₁ und R₂ sind die ohmschen Widerstände der Wicklungen, sie verursachen thermische Verluste in den elektrischen Leitern. Sie sind meistens gegenüber der Last Z niederohmig.

L_σ1,2 sind die Streuinduktivitäten.

Die gestrichenen Größen im Ersatzschaltbild müssen analog und entsprechend dem Übertragungsfaktors γ des Transformators umgerechnet werden:

<math>R'_{2} = R_{2} \cdot \gamma^2</math>

<math>L'_{\sigma 2} = L_{\sigma 2} \cdot \gamma^2</math>

3.1 Verlustbestimmung

Die Verluste P_v am Trafo setzen sich aus den Leerlaufverlusten P₀ und den Stromwärmeverlusten P_k, primär Wicklungsverluste, zusammen. Die Leerlaufverluste sind immer vorhanden, wenn eine Seite des Trafos gespeist wird. Die Stromwärmeverluste sind direkt proportional zur Ausgangsscheinleistung S₂ bzw. zum Quadrat des Ausgangsstromes I₂, bezogen auf deren Nennwerte welche mit dem Index _N markiert sind:

<math>P_v = P_0 + P_k \cdot \frac{S_2}{S_N} = P_0 + P_k \cdot \left( \frac{I_2}{I_{2N}} \right)^2</math>

Die Leerlaufverlustleistung P₀ wird bei offener Sekundärseite bestimmt und erlaubt direkt die näherungsweise Bestimmung des Wirkanteils in Form der Wirbel- und Hystereseverluste R_Fe und der Induktivität im Leerlauf L_open = L₁.

Die Stromwärmeverluste können im einfachsten Fall mittels Kurzschluss der Sekundärseite von der Primärseite aus bestimmt werden:

<math>P_k = I_1^2 (R_1 + R'_2)</math>

Daraus lassen sich die Summen der beiden Wicklungswiderstände R₁ + R′₂ als auch die Induktivität im Kurzschlussfall L_short bestimmen. Bei praktischen Messungen kann es notwendig sein, diese Bestimmung mit einer bekannten Impedanz Z statt einem sekundärseitigen Kurzschluss durchzuführen, um thermische Schäden am Transformator zu vermeiden. Bei großen Transformatoren muss die Verlustleistung gegebenenfalls durch geeignete Kühlung abgeführt werden.

Der Kopplungskoeffizient k kann dann durch die beiden messtechnisch gewonnenen Induktivitätswerte L_open und L_short ausgedrückt werden als:

<math>k = \sqrt{1 - \frac{L_{short}}{L_{open}}}</math>

Der Zusammenhang mit der Hauptinduktivität L_h1 und den beiden Streuinduktivitäten L_σ1 und L_σ2 ist:

<math>L_{h1} = k \cdot L_{open}</math>

<math>L_{\sigma 1} = (1 - k) \cdot L_{open}</math>

<math>L_{\sigma 2} = (1 - k) \cdot L_{open} \cdot \gamma^2</math>

Da für die Verlustabschätzung die Verteilung der Streuinduktivität auf Primär- und Sekundärseite häufig unerheblich ist, wird von Transformatorherstellern oft auch nur die gesamte Streuinduktivität als L_s angegeben, welche der Induktivität L_short entspricht.

3.2 Wirbelstromverluste

Geschichtete Bauweise des Kerns aus Trafoblech reduziert Wirbelstromverluste

Wirbelströme entstehen durch die zeitliche Änderung des magnetischen Flusses im elektrisch leitenden Kern. Die durch Wirbelströme verursachten Verluste zählen zu den Leerlaufverlusten. Zur Reduktion ist es notwendig, bei Erhaltung der magnetischen Leitfähigkeit, die elektrische Leitfähigkeit des Kerns zu reduzieren.

Da Werkstoffe wie beispielsweise Weicheisen, welche über eine hohe magnetische Leitfähigkeit verfügen, auch gute elektrische Leiter sind, ist es nötig, den Kernaufbau zu schichten. Dies heißt, den magnetischen Kern mit einzelnen gegeneinander elektrisch isolierten Blechstreifen (Dynamoblech) aufzubauen. Die Blechdicken richten sich dabei nach der Frequenz: Je höher die Frequenz, desto dünner muss die Dicke gewählt werden. Ab Frequenzen von einigen kHz aufwärts werden, da das Schichten dann nicht mehr praktikabel ist, keramische Werkstoffe wie Ferrite mit hoher magnetischer und praktisch keiner elektrischen Leitfähigkeit eingesetzt.

3.3 Hystereseverluste

Hystereseverluste, auch sie zählen zu der Gruppe der Leerlaufverluste, entstehen durch das Magnetisieren des Magnetmaterials. Ein Teil der Energie, die zur Verschiebung der Blochwände und für das Umklappen der Molekularmagnete erforderlich ist, geht irreversibel in Wärme über.

4 Realer Transformator

Das Modell des verlustbehafteten Transformators muss für manche Anwendungen erweitert werden, um dem Verhalten von realen Transformatoren möglichst nahe zu kommen. Insbesondere können bei einem realen Transformator folgende, im Regelfall unerwünschte, zusätzlicher Effekte auftreten:

4.1 Kapazitive Kopplung

Zwischen Primär- und Sekundärseite kann eine kapazitive Kopplung auftreten. Modelliert wird diese durch einen zusätzlich eingebrachten Koppelkondensator. Die Größe dieser Kapazität hängt unter anderem von der Art und Weise, wie die Wicklungen am Kern angebracht werden, ab. Im Regelfall kann der Wert der Koppelkapazität als konstant angenommen werden.

4.2 Magnetische Sättigung

Die Magnetische Sättigung des Kernmaterials führt zu nichtlinearen Effekten, welche im Regelfall unerwünscht sind, da der Wirkungsgrad sinkt und die Streuflüsse stark zunehmen. Einzig Transformatoren ohne magnetischen Kern und mit generell schlechtem Kopplungskoeffizient, so genannte „Lufttransformatoren“, weisen keine Sättigung auf.

Idealerweise weist das Kernmaterial, wie in den vorherigen Modellen vorausgesetzt, immer eine konstante magnetische Leitfähigkeit auf. Dies kann für kleine magnetische Flussdichten auch als hinreichend genau betrachtet werden. Treten hingegen stärkere magnetische Flussdichten auf, konkrete Werte sind werkstoffabhängig und liegen im Bereich von rund 0,5 T bis 1 T, nimmt die magnetische Leitfähigkeit des Kerns ab. Im Grenzfall weist das Kernmaterial nur noch die geringe magnetische Leitfähigkeit des Vakuums auf, die Bloch-Wände sind dann alle ausgerichtet.

Die Folge ist, dass alle von der magnetischen Leitfähigkeit des Kerns abhängigen Elementgleichungen, wie die der Induktivitäten, in ihrem Momentanwerten von der magnetischen Flussdichte abhängen. Die Induktivitäten sind dann, bei zeitabhängigen Größen wie bei einem zeitlichen veränderlichen Wechselstrom, zeitlich nicht mehr konstant. Auch Faktoren wie der Kopplungskoeffizient k sind nicht mehr zeitlich konstant. Auswirkungen können das so genannte Clipping sein, einer Begrenzung der maximalen Spannungs- bzw. Stromwerte. Dabei treten durch die Sättigung Oberschwingungen auf. Auch können die Methoden der komplexen Wechselstromrechnung nicht mehr angewendet werden.

Zur Vermeidung der magnetischen Sättigungen muss der magnetische Kreis im Querschnitt für die jeweilige Betriebsspannung ausreichend groß dimensioniert sein, um so die maximale magnetische Flussdichte unter dem kritischen Wert zu halten. Von den elektrischen Parametern entscheidet nur die Höhe der primärseitigen elektrischen Spannung bei offener Sekundärseite, ob der Kern eines Transformators in Sättigung kommt und nicht die übertragene Leistung − dies ist unmittelbare Folge des Induktionsgesetzes. Zeigt ein bestimmter Transformator im eingeschwungenen Leerlauffall keine Sättigungseffekte, so kommt es auch im Belastungsfall, wie auch im Kurzschlussfall, zu keiner magnetischen Sättigung des Kernmaterials.

4.3 Nachwirkungsverluste

Der im Eisen enthaltene Kohlenstoff nimmt je nach Richtung des Magnetfeldes bestimmte Zwischengitterplätze ein und stabilisiert die Blochwände. Damit sind die Blochwände bei weiteren Ummagnetisierungen schwerer zu bewegen.

5 Weblinks

• Idealer Einphasentransformator

6 Literatur

•  Karl Küpfmüller, Gerhard Kohn: Theoretische Elektrotechnik und Elektronik. 14 Auflage. Springer, 1993, ISBN 3-540-56500-0.
•  Adolf J. Schwab: Begriffswelt der Feldtheorie, Elektromagnetische Felder, Maxwellsche Gleichungen. 6 Auflage. Springer, 2002, ISBN 3-540-42018-5.

8 Andere Lexika

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