Frequenzweichen für Lautsprecher

Eine Frequenzweiche dient dazu, Töne aus der Musik und andere Audiosignale auf mehrere Lautsprecher in Abhängigkeit von der Tonhöhe (Frequenz) zu verteilen. Da die meisten Lautsprecher nicht den für den Menschen hörbaren Frequenzbereich in der gesamten Bandbreite und auch nicht immer in der gewünschten Lautstärke wiedergeben können, gibt es verschiedene Verfahren, um die Wiedergabequalität insbesondere bei Stereowiedergaben zu verbessern. Unterschieden werden aktive und passive Verfahren. Beim aktiven Verfahren hat der Verstärker entsprechende Ausgänge für die jeweiligen Lautsprecher, die Frequenzweiche wird also sozusagen aktiv angeboten und kann teilweise auch gesteuert werden. Beim passiven Verfahren, welches häufig angewandt wird, enthält meist die Lautsprecherbox zwei oder mehr Lautsprecher - die sogenannten Töner - sowie eine elektrische Schaltung, die einen Filter für die Frequenzen darstellt

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1 Ziel

Ziel ist eine möglichst naturgetreue Wiedergabe. Beim Menschen liegen die hörbaren Frequenz des Schalls zwischen 16 Hz und 20.000 Hz.^[1] Dieses Frequenzband soll mittels eines Weichenfilters so auf mehrere Töner aufgeteilt werden, dass

Verzerrungen vermieden werden
jeder Töner nur das Frequenzband zugewiesen bekommt, das er auch betrags- und phasenrichtig abstrahlen kann

2 Aufbau

Das Eingangsfrequenzband kann mittels eines oder mehrerer paralleler Filter in die gewünschten Einzelfrequenzbänder zerlegt werden. Dabei werden Hochpass und Tiefpass unterschieden. Eine passive Weiche besteht im einfachsten Fall aus Kondensatoren und Spulen. Kondensatoren lassen höhere Frequenzen passieren und sperren niedrige Frequenzanteile bzw. Töne, bei Spulen ist es genau umgekehrt. Es gibt Systeme, bei denen drei Lautsprecher verwendet werden: Zwei Hochtöner (jeweils einer für den linken und einer für den rechten Kanal) und ein Tieftöner. Dies wird damit begründet, dass der Mensch tiefe Töne nicht so gut orten kann bzw. kaum Unterschiede zwischen linkem und rechtem Ohr bei niedrigen Frequenzen wahrnimmt.

Die gesamte Konstruktion hängt unter anderem davon ab, welchen Frequenzbereich die Lautsprecher jeweils verzerrungsfrei widergeben, wobei sich diese überlappen sollten, um Brüche zu vermeiden.

3 Grad der Filter

Pro Grad gibt es in der professionellen Anwendung üblicherweise Stufen von jeweils 20 dB. Die Hörschwelle des Menschen liegt in der Frequenz von 100 Hz bei 20 dB. Damit diese und auch Töne tieferer Frequenz noch gehört werden können, ist etwa die 16fache Leistung nötig gegenüber der Frequenz von 1000 Hz. Daher werden für tiefe Frequenzen größere Lautsprecher benötigt, die sogenannten Tieftöner. Für den privaten Bereich ist der erste Grad ausreichend; es gibt für Computer kleine Programme, mit denen die Wiedergabe ausprobiert werden kann, das sind die sogenannten Equalizer.

4 Übertragungsfunktion H(p)

Die Übertragungsfunktion H[p] beschreibt die komplexe frequenzabhängige Übertragung eines Eingangssignals zum Ausgang des Filters und lautet in der einfachsten Form (1. Grad):

H[p] = (Summe a_i * p) / (Summe b_i * p)

a_i Koeffizienten des Zählerpolynoms

b_i Koeffizienten des Nennerpolynoms

p=j*2*pi*f Komplexe (Kreis)Frequenz der Frequenz f

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Damit die Übertragungsfunktion realisierbar wird müssen die Nullstellen des Nennerpolynoms

<math>

0 = {\sum_{i=0}^{n} b_i p^i} </math>

welche zugleich die Polstellen der Übertragungsfunktion <math>H[p]</math> sind in der linken komplexen Halbebene liegen (deren Realteile müssen also kleiner Null sein)

Das Zählerpolynom darf nur bei so vielen Potenzen von p von Null verschiedene Koeffizienten <math>a_i</math> aufweisen, wie Ausgänge des Filters für unterschiedliche Frequenzbänder vorgesehen sind. Im einfachsten Fall, der Auftrennung in ein Hochpass- und ein Tiefpass-Frequenzband dürfen im Zähler also nur die Koeffizienten <math>a_0</math> und <math>a_n</math> von Null verschieden sein.

Der Betrag des Zählerpolynoms muss für alle Frequenzen gleich dem Betrag des Nennerpolynoms sein, damit der Betrag der Summe der Einzelübertragungsfunktionen den Wert 1 hat, also

<math>

|{\sum_{i=0}^{n} a_i p^i}|=|{\sum_{i=0}^{n} b_i p^i}| </math>

Aus diesen drei Anforderungen lassen sich nun recht einfach die Koeffizienten der Übertragungsfunktion berechnen.

5 Beispiel für den Grad 1

Die Übertragungsfunktion für den Weichenfilter vom Grad 1 lautet allgemein

<math>

H[p] = \frac{a_0+a_1 p^1}{b_0+b_1 p^1} </math>

und nach Erfüllen der Betragsbedingung für Zähler und Nenner und falls die strenge Bedingung <math>H[p]=1</math> gefordert wird

<math>

H[p] = \frac{1+p^1}{1+p^1} </math>

oder falls die Bedingung <math>|H[p]|=1</math> nur für den Betrag gefordert wird

<math>

H[p] = \frac{-1+p^1}{1+p^1} </math>

Die Übertragungsfunktion ist im ersten Fall die triviale Lösung und im zweiten Fall ein Allpass vom Grad 1 mit konstantem Betragsfrequenzgang <math>|H[p]|=1</math>.

Durch Aufspalten des Zählerpolynoms im zweiten Fall erhält man die gesuchte Tiefpass-Übertragungsfunktion

<math>

H[p] = \frac{-1}{1+p^1} </math>

und die entsprechende Hochpass-Übertragungsfunktion

<math>

H[p] = \frac{p^1}{1+p^1} </math>

6 Beispiel für den Grad 2

Die Übertragungsfunktion eines Weichenfilters vom Grad 2 lautet allgemein

<math>

H[p] = \frac{a_0+a_1 p^1+a_2 p^2}{b_0+b_1 p^1+b_2 p^2} </math>

Will man die Bedingung für Zähler und Nenner <math>H[p]=1</math> erfüllen zeigt sich, dass die weitere Bedingung für den Zählerkoeffizienten <math>a_1=0</math> nicht erfüllbar ist, das Zählerpolynom kann also nicht in genau zwei Summanden aufgespaltet werden.

Falls die Bedingung <math>|H[p]|=1</math> nur für den Betrag gefordert wird, erhält man nach Koeffizientenvergleich aus der Betragsbedingung für das Zähler- und Nennerpolynom

<math>

H[p] = \frac{-b_0^2+ p^2}{b_0^2+2 b_0p^1+p^2} </math>

oder nachdem <math>b_0=1</math> gesetzt wird, die auch von Linkwitz angegebene Lösung

<math>

H[p] = \frac{-1+ p^2}{1+2p^1+p^2} </math>

Nach Faktorisieren erhält man

<math>

H[p] = \frac{(-1+ p)(1+p)}{(1+ p)(1+p)} </math>

Die Übertragungsfunktion enthält ein Allpass vom Grad 1 und weist den gewünschten konstantem Betragsfrequenzgang <math>|H[p]|=1</math> auf. Die Übertragungsfunktion hat bei hinreichend hohen Frequenzen den Wert +1. Der Phasenfrequenzgang verläuft also im betrachteten Frequenzband von +180 Grad nach 0 Grad

Durch aufspalten des Zählerpolynoms erhält man die gesuchte Tiefpass-Übertragungsfunktion

<math>

H[p] = \frac{-1}{1+2p^1+p^2} </math>

und die entsprechende Hochpass-Übertragungsfunktion

<math>

H[p] = \frac{p^2}{1+2p^1+p^2} </math>

die beide technisch einfach realisiert werden können.

7 Beispiel für den Grad 4

Anmerkung zum Grad 3: Analoges Vorgehen für den Grad 3 zeigt, dass die drei eingangs genannten Bedingungen nicht mit reellen Koeffizienten erfüllbar sind.

Die Übertragungsfunktion eines Weichenfilters vom Grad 4 lautet allgemein

<math>

H[p] = \frac{a_0+a_1 p^1+a_2 p^2+a_3 p^3+a_4 p^4}{b_0+b_1 p^1+b_2 p^2+b_3 p^3+b_4 p^4} </math>

Erfüllt man die drei eingangs genannten Bedingung mit <math>|H[p]|=1</math>, erhält man mit <math>b_0=1</math>

<math>

H[p] = \frac{1+p^4}{1+2\sqrt{2}p^1+4 p^2+2\sqrt{2} p^3+p^4} </math>

Nach Faktorisieren erhält man

<math>

H[p] = \frac{(1+\sqrt{2}p^1+p^2)(1-\sqrt{2}p^1+p^2)}{(1+\sqrt{2}p^1+p^2) (1+\sqrt{2}p^1+p^2)} </math>

Die Übertragungsfunktion enthält ein Allpass vom Grad 2 und weist den gewünschten konstantem Betragsfrequenzgang <math>|H[p]|=1</math> auf. Die Übertragungsfunktion hat für die Frequenz 0 den Wert +1 und auch bei hinreichend hohen Frequenzen den Wert +1. Der Phasenfrequenzgang verläuft also im betrachteten Frequenzband von +0 Grad nach -360 Grad

Durch Aufspalten des Zählerpolynoms erhält man die gesuchte Tiefpass-Übertragungsfunktion

<math>

H[p] = \frac{1}{1+2\sqrt{2}p^1+4p^2+2\sqrt{2}p^3+p^4} </math>

und die entsprechende Hochpass-Übertragungsfunktion

<math>

H[p] = \frac{p^4}{1+2\sqrt{2}p^1+4 p^2+2\sqrt{2}p^3+p^4} </math>

die beide technisch einfach durch Kettenschaltung zweier identischer Filter vom Grad 2 realisiert werden können. Für den Tiefpass vom Grad 2 lautet die Übertragungsfunktion

<math>

H[p] = \frac{1}{1+\sqrt{2}p^1+p^2} </math>

Für den Hochpass vom Grad 2 lautet die Übertragungsfunktion

<math>

H[p] = \frac{p^2}{1+\sqrt{2}p^1+p^2} </math>

8 Weitere Hinweise

Das dargestellte Syntheseverfahren für Weichenfilterfunktionen ist auf beliebige Grade anwendbar und kann technisch einfach mittels Fiterstufen vom Grad 2 realisiert werden.
Die Optimierung des Betragsfrequenzgangs erfolgt hinsichtlich der Summe der Einzel-Übertragungsfunktionen und nicht separat für letztere. Wie aus den Beispielen ersichtlich ergeben sich die Koeffizienten für die Zähler- und Nennerpolynome aus den drei eingangs genannten Bedingungen – sie sind nicht nach anderen Optimierungsverfahren für Einzelübertragungsfunktionen wie zum Beispiel Potenz oder Bessel wählbar.
Die technische Realisierung wird sinnvollerweise durch aktive Filter vom Grad 2 vorgenommen. Dies eröffnet die Option jeden Töner zusätzlich durch ein Filter mit dem inversen Frequenzgang seiner Übertragungsfunktion linear zu entzerren und/oder ihn in eine Gegenkopplungsanordnung einzubeziehen, wie dies zum Beispiel bei aktiven Lautsprechern der Firma Backes&Müller der Fall ist.
Eine alternative technische Realisierung erhält man, wenn man von der oben dargestellten faktorisierten Übertragungsfunktion die Tiefpass-Übertragungsfunktion subtrahiert um die Hochpass-Übertragungsfunktion zu erhalten. Dies führt zur Realisierung des Tiefpasszweiges wie oben gesagt und des Hochpasszweiges aus der Differenz des allpassgefilterten Eingangssignals (Allpass vom Grad 2 in der faktorisierten Form) mit dem Tiefpasssignal. Diese Realisierungsvariante ist auch unter Lipshitz/Vanderkooy bekannt und kommt offensichtlich zum Beispiel in den aktiven Lautsprechern von Friedrich Müller (Silbersand) zur Anwendung. Umgekehrt, aber technisch weniger sinnvoll, könnte auch der Tiefpasszweig aus der entsprechenden Subtraktion gewonnen werden.
Die dargestellte Systematik der Herleitung von Übertragungsfunktionen für Weichenfilter beschränkt sich hier auf Hochpass-/Tiefpassweichen. Diese geht von einer Filterarchitektur aus, welche das Eingangsfrequenzband in ein Hochpass-Frequenzband und ein Tiefpass-Frequenzband zerlegt, welche dann im Falle von drei oder mehreren gewünschten Frequenzbändern jeweils in weitere Hochpass- und Tiefpass-Frequenzbänder zerlegt werden.