Formelsammlung Mechanik

Dies ist eine Formelsammlung zu dem physikalischen Teilgebiet der klassischen Mechanik.

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1 Bewegungen − Kinematik

<math>v</math>: Geschwindigkeit [m/s]

<math>s</math>: Strecke [m]

<math>t</math>: Zeit [s]

<math>a</math>: Beschleunigung [m/s²]

1.1 Geradlinige Bewegung

<math>v=\frac{s}{t}</math>

gleichförmige Bewegung (Durchschnittsgeschwindigkeit)

<math>\Delta s</math>: Strecke [m]

<math>\Delta t</math>: Zeit [s]

<math>\bar v = \frac{\Delta s}{\Delta t}</math>

Momentangeschwindigkeit

<math>v=\lim_{\Delta t\to0}\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{\mathrm ds}{\mathrm dt}</math>

Beschleunigung

<math>a=\lim_{\Delta t\to0}\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm d^2s}{\mathrm dt^2}</math>

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung

• geradlinig:

<math>s(t) = \frac12\,a\,t^2+v_0\,t+s_0</math>

<math>v=at+v_0\,</math>

• allgemein:

<math>\vec{v}(t) = \vec{v}_0 + t\,\vec{a}</math>

<math>\vec{x}(t) = \vec{x}_0 + t\,\vec{v}_0 + \frac{1}{2} \,t^2\,\vec{a}</math>

<math>\vec{v}(t)^2 = \vec{v}_0^2 + 2\,a\,(\vec{x}(t) - \vec{x}_0)</math>

mit

<math>\vec x(t)</math>: zeitabhängige Position

<math>\vec x_0</math>: Anfangsposition

<math>\vec v</math>: zeitabhängige Geschwindigkeit

<math>\vec v_0</math>: Anfangsgeschwindigkeit

beliebige Bewegung

<math>\vec s=\int_{t_1}^{t_2}\vec v(t)\mathrm dt+\vec v_0\cdot t+\vec s_0</math>

<math>\vec v=\int_{t_1}^{t_2}\vec a(t)\mathrm dt+\vec v_0</math>

1.2 Kreisbewegung

gleichförmige Kreisbewegung: v = konstant

<math>b</math>: Bogenlänge [m]

<math>r</math>: Kreisradius [m]

<math>\varphi</math>: Winkelkoordinate rad (dimensionslos)

<math>\varphi = \frac{b}{r}</math>

<math>\text{Winkelgeschwindigkeit }\omega=\frac{\Delta \varphi}{\Delta t}=\frac{2\pi}T</math>

<math>\text{Drehfrequenz }f =\frac1T = \frac{\omega}{2\pi}</math>

<math>\text{Kreisbahngeschwindigkeit }v = r\omega = \frac{2\pi r}T = 2\pi rf</math>

<math>\text{Umlaufdauer }T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi}{\omega}</math>

<math>\text{Zentripetalbeschleunigung }a_\mathrm{z} = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r</math>

gleichmäßig beschleunigte Kreisbewegung

<math>\varphi=\frac12\alpha\cdot t^2=\frac br=\frac{\omega\cdot t}2</math>

<math>\omega=\frac vr=\alpha\cdot t</math>

<math>\text{Winkelbeschleunigung }\alpha=\frac ar=\frac \omega t=\text{konstant}</math>

1.3 Rotation

beliebige Rotation

<math>\text{Winkel }\vec\phi=\int_{t_1}^{t_2}\vec\omega(t)\mathrm dt+\vec\omega_0\cdot t+\vec\phi_0</math>

<math>\text{Winkelgeschindigkeit }\vec\omega=\int_{t_1}^{t_2}\vec\alpha(t)\mathrm dt+\vec\omega_0=\frac{\mathrm d\vec\phi}{\mathrm dt}</math>

<math>\text{Winkelbeschleunigung }\vec\alpha=\frac{\mathrm d\vec\omega}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm d^2\vec\phi}{\mathrm dt^2}</math>

gleichförmige Rotation

<math>\phi=\omega\cdot t+\phi_0</math>

<math>\omega=\frac{\Delta\phi}{\Delta t}=\frac vr=\frac{2\pi}T=2\pi n</math>

<math>\alpha=0\,</math>

gleichmäßig beschleunigte Rotation

<math>\phi=\frac\alpha2\cdot t^2+\omega_0\cdot t+\phi_0</math>

<math>\omega=\alpha\cdot t+\omega_0</math>

<math>\alpha=\frac{\Delta\omega}{\Delta t}=\text{konstant}</math>

1.4 Würfe, Freier Fall

1.4.1 Freier Fall

<math>g</math>: Erdbeschleunigung [m/s²]

<math>h</math>: Fallhöhe [m]

ohne Reibung

<math>v=g\cdot t = \sqrt{2gh}</math>

<math>t=\sqrt{\frac{2h}{g}}</math>

<math>s=\frac12gt^2</math>

1.4.1.1 mit Reibung

<math>H</math>: Anfangshöhe

Fall 1: Newton-Reibung

<math>\text{Momentanh}\ddot \mathrm o\text{he }h(t) = H-\frac{m}{\alpha}\ln\left[\cosh\left(\sqrt{\frac{\alpha g}{m}}\cdot t\right)\right]</math>

<math>v(t) = -\sqrt{\frac{mg}{\alpha}}\tanh\left(\sqrt{\frac{\alpha g}{m}}\cdot t\right)</math>

<math>a(t) = -\frac{g}{\cosh^2\left(\sqrt{\frac{\alpha g}{m}}\cdot t\right)}</math>

<math>\text{Grenzgeschwindigkeit }v_\mathrm{g} = -\sqrt{\frac{mg}{\alpha}}</math>

Im Newton-Fall ist <math>\alpha = \tfrac12\cdot c_\mathrm{w}\,\rho\,A</math>, mit

<math>c_\mathrm{w}</math>: Strömungswiderstandskoeffizient

<math>\rho</math>: Luftdichte

<math>A</math>: Stirnfläche des fallenden Körpers

Fall 2: Stokes-Reibung

<math>h(t)=H+\frac{m}{\alpha}g\left[\frac{m}{\alpha}\left(1-e^{-(\alpha/m)t}\right)-t\right]</math>

<math>v(t)=\frac{m}{\alpha}g\left(e^{-(\alpha/m)t}-1\right)</math>

<math>a(t)=-g\,e^{-\frac{\alpha}{m} t}</math>

<math>v_g=-\frac{m}{\alpha}g</math>

1.4.2 Senkrechter Wurf

<math>v_0</math>: Abwurfgeschwindigkeit

nach unten

<math>v(t)=v_0+gt=\sqrt{v_0^2+2gh(t)}</math>

<math>h(t)=v_0t+\frac g2t^2</math>

nach oben

<math>v(t)=v_0-gt=\sqrt{v_0^2-2gh(t)}</math>

<math>h(t)=v_0t-\frac g2t^2</math>

<math>\text{Steigzeit bis zum Umkehrpunkt }[v=0]: t_{steig}=\frac{v_0}g</math>

<math>\text{Steigh}\ddot \mathrm o\text{he } h_{max}=\frac{v_0^2}{2g}</math>

1.4.3 Horizontaler Wurf

<math>H</math>: Abwurfhöhe

<math>\text{Wurfweite }W=v_0\cdot\sqrt{\frac{2H}{g}}</math>

<math>\text{Wurfdauer }T=\sqrt{\frac{2H}{g}}</math>

1.4.4 Schiefer Wurf

<math>\alpha(0^\circ<\alpha <90^\circ)</math>: Abwurfwinkel zur Horizontalen

<math>\text{Wurfweite }W=\frac{v_0^2\cdot\sin(2\alpha)}{g}</math>

<math>\text{Steigh}\ddot \mathrm o\text{he }H=\frac{v_0^2\cdot\sin^2\alpha}{2g}</math>

<math>\text{Steigzeit = Fallzeit }T=\frac{v_0\cdot\sin\alpha}{g}</math>

Die Wurfweite ist maximal, wenn <math>\sin2\alpha=1</math>, also bei einem Abschusswinkel von <math>\alpha=45^\circ</math>.

2 Kraft

<math>m</math>: Masse [kg]

<math>g</math>: Fallbeschleunigung (Ortsfaktor) [m/s²]

<math>\vec F</math>: Kraft [N]

<math>\vec a</math>: Beschleunigung [m/s²]

2.1 Grundlegende Kräfte

<math>\text{Gewichtskraft }F_\mathrm{G} = m \cdot g</math>

<math>\text{Federspannkraft }F_S=D\cdot s</math>

<math>\text{Auftriebskraft }F_A=\rho\cdot V\cdot g=\text{Dichte}\cdot\text{Volumen}\cdot\text{Ortsfaktor}</math>

<math>\text{Druckkraft }F_p=p\cdot A=\text{Druck}\cdot\text{Auflagefl}\mathrm \ddot a\text{che}</math>

2.2 Zentrifugal-/-petalkraft

<math>F_Z=\frac{mv^2}r=mr\omega^2=ma_z</math>

siehe oben #Kreisbewegung

2.3 Newton’sche Gesetze

• Erstes newtonsches Gesetz: Trägheitsgesetz

„Ein Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen Translation, sofern er nicht durch einwirkende Kräfte zur Änderung seines Zustands gezwungen wird.“

<math>\sum\vec F_{\ddot aussere}=\vec 0 \Leftrightarrow \vec v=\text{konstant}</math>

• Zweites newtonsches Gesetz: Aktionsprinzip

<math>\vec F=m\cdot\vec a</math>

• Drittes newtonsches Gesetz: actio=reactio

<math>\vec F_{A\to B}=-\vec F_{B\to A}</math>

2.4 Gravitationskraft

<math>\text{Gravitationskraft }F_\mathrm{G} = G \cdot \frac{M \cdot m}{r^2}</math>

<math>m_1, m_2</math>: Masse des einen bzw. anderen Körpers [kg]

<math>r</math>: Entfernung der Schwerpunkte beider Körper voneinander [m]

<math>G</math>: Gravitationskonstante <math>\approx 6{,}6726 \cdot 10^{-11} \frac{\mathrm{N} \mathrm{m}^2}{\mathrm{kg}^2}</math>

2.5 Kraftumformende Einrichtungen

• Drehmoment

<math>\text{Drehmoment }\vec M =\vec l \times\vec F</math>

<math>\vec F</math>: Kraft [N]

<math>\vec l</math>: Hebelarmlänge [m]

• Hebelgesetz

<math>F_1 \cdot l_1 = F_2 \cdot l_2</math>

<math>F_1, F_2</math>: Kraft bzw. Last [N]

<math>l_1, l_2</math>: Kraft- bzw. Lastarmlänge [m]

• Rollen

• Flaschenzug

2.6 Reibung

<math>\text{Reibungskraft }F_R=\mu\cdot F_N=\text{Reibungszahl}\cdot\text{Normalkraft}</math>

2.7 Impuls

<math>\text{Impuls }\vec p=m\cdot\vec v\,</math>

<math>E_{\text{kinetisch}}=\frac{\vec p^2}{2\, m}</math>

<math>\Delta\vec p=m\cdot\Delta\vec v=\int_{t_1}^{t_2}\vec F(t)\mathrm dt</math>

<math>\frac{\mathrm d \vec p}{\mathrm dt}=\vec F</math>

Impulse bleiben (in einem kräftemäßig abgeschlossenen System) in der Summe erhalten.

Kraftstoß

<math>\text{Kraftstoss }\vec I=\vec F\cdot\Delta t\qquad\text{bei }\vec F=\text{konstant}</math>

<math>\vec I = \Delta\vec p=\int\vec F(t)\cdot\mathrm dt</math>

2.7.1 Drehimpuls

<math>J</math>: Trägheitsmoment

<math>\omega</math>: Winkelgeschwindigkeit

<math>M</math>: Drehmoment

<math>\text{Drehimpuls }\vec L=J\cdot\vec\omega</math>

<math>\frac{\mathrm d \vec L}{\mathrm dt}=\vec M</math>

Der Gesamtdrehimpuls eines isolierten physikalischen Systems bleibt unverändert.

2.8 Stoß

<math>v_1,v_2</math>: Geschwindigkeiten vor dem Stoß

<math>u,u_1,u_2</math>: Geschwindigkeiten nach dem Stoß

2.8.1 elastischer gerader zentraler (idealer) Stoß

Impulserhaltung:

<math>m_1v_1+m_2v_2=m_1u_1+m_2u_2\,</math>

Energieerhaltung:

<math>\frac12m_1v_1^2+\frac12m_2v_2^2=\frac12m_1u_1^2+\frac12m_2u_2^2</math>

Geschwindigkeiten nach dem Stoß:

<math>u_1=\frac{m_1v_1+m_2(2v_2-v_1)}{m_1+m_2}</math>

<math>u_2=\frac{m_2v_2+m_1(2v_1-v_2}{m_1+m_2}</math>

Spezialfall: bei gleichen Massen

<math>u_1=v_2\qquad u_2=v_1</math>

2.8.2 unelastischer (gerader zentraler) Stoß

Impulserhaltung:

<math>m_1v_1+m_2v_2=(m_1+m_2)\cdot u</math>

Verringerung der kinetischen Energie (Verformungsenergie):

<math>\frac12(m_1v_1^2+m_2v_2^2)-\frac12(m_1+m_2)u^2</math>

Geschwindigkeit <math>u</math> nach dem Stoß:

<math>u=\frac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2}</math>

2.8.3 teilelastischer Stoß

Änderung der Bewegungsenergie ("Verlust")

<math>\Delta E=(E_{kin.vor}-E_{kin.nach})\cdot(1-k^2)=\frac12\cdot(1-k^2)\cdot\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}\cdot(v_1-v_2)^2</math>

<math>\text{Stosszahl }k=\frac{u_2-u_1}{v_1-v_2}</math>

<math>u_1=\frac{v_1\cdot(m_1-km_2)+v_2\cdot(1+k)m_2}{m_1+m_2}</math>

<math>u_2=\frac{v_2\cdot(m_2-km_1)+v_1\cdot(1+k)m_1}{m_1+m_2}</math>

2.9 Dichte und Druck

<math>\text{Dichte }\rho=\frac mV=\frac{\text{Masse}}{\text{Volumen}}</math>

<math>\text{Druck }p= \frac{| \vec F_\perp |}{| \vec A |}=\frac{\text{senkrecht wirkende Kraft}}{\text{Fl}\ddot\mathrm a\text{che}},\qquad\text{Einheit: Pa (Pascal)}</math>

<math>\text{Schweredruck }p=\frac{F_G}A=\frac{mg}A=\rho hg</math>

<math>\text{Auftriebskraft }F_A=\rho\cdot V\cdot g</math>

• Barometrische Höhenformel

3 Mechanische Arbeit

<math>W = \vec F \cdot \vec s</math>

<math>W</math>: Arbeit [Nm = J = Ws]

<math>\vec F</math>: Kraft [N]

<math>\vec s</math>: Weg [m]

allgemein

<math>W=\int_{s_1}^{s_2}\vec F(s)\mathrm d\vec s = \Delta E</math>

falls F = konstant und <math>\measuredangle (\vec F, \vec s)=\alpha</math>:

<math>W=F\cdot s\cdot\cos\alpha</math>

<math>\text{Hubarbeit }W=mgs\,</math>

<math>\text{Beschleunigungsarbeit }=mas\,</math>

<math>\text{Federspannarbeit }=\tfrac12Ds^2</math>

<math>\text{Reibungsarbeit }W_R=\mu\cdot m\cdot g\cdot s\cdot \cos\alpha</math>

<math>\text{Volumenarbeit (Ausdehnungsarbeit) }W=-\int_{V_1}^{V_2}p(V)\mathrm dV</math>

<math>\text{Falls Druck }p=\text{konstant: }W=-p\cdot\Delta V</math>

<math>V</math>: Volumen

4 Mechanische Energie

4.1 Potentielle Energie

<math>E_\mathrm{pot} = m \cdot g \cdot h</math>

<math>h</math>: Hubhöhe [m]

• Potentielle Energie einer gespannten Feder (Spannenergie)

<math>E_\mathrm{spann} = \frac12\cdot D \cdot s^2</math>

<math>\text{Federkonstante }D=\frac Fs,\qquad\text{Einheit: } \frac{\mathrm N}{\mathrm m}</math>

<math>s</math>: Auslenkung der Feder aus der Ruhelage

Potentielle Energie in einem Gravitationsfeld

<math>E_\mathrm{pot} = m \cdot g \cdot h \cdot \frac{R}{r} = \frac{GMm}{R}-\frac{GMm}{r}</math>

<math>M</math>: Masse des Himmelskörpers [kg]

<math>R</math>: Radius des Himmelskörpers [m]

<math>r</math>: Radius des Himmelskörpers + Hubhöhe (R+h) [m]

<math>G</math>: Gravitationskonstante

Maximale potentielle Energie in einem Gravitationsfeld

<math>E_\mathrm{pot.max} = \frac{GMm}{R} = mgR</math>, mit <math>GM = gR^2</math>

4.2 Kinetische Energie

Translation

<math>E_\mathrm{kin} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2</math>

<math>m</math>: Masse [kg]

<math>v</math>: Geschwindigkeit [m/s]

Rotation

<math>E_{kin}=\frac12\cdot J\cdot \omega^2</math>

<math>J</math>: Trägheitsmoment

<math>\omega</math>: Winkelgeschwindigkeit

4.3 Energieerhaltungssatz der Mechanik

In einen abgeschlossenen mechanischen System gilt:

<math>E_{mech}=E_{pot}+E_{kin}=\text{konstant}\,</math>

4.4 Leistung

<math>\text{Leistung }P = \frac{W}{t}</math>

<math>P</math>: Leistung [Nm/s = J/s = W (Watt)]

<math>W</math>: Arbeit [J]

<math>t</math>: Zeit [s]

4.5 Wirkungsgrad

<math>\eta=\frac{W_{abgegeben}}{W_{zugef\ddot uhrt}}\cdot 100%=\frac{E_{abgegeben}}{E_{zugef\ddot uhrt}}\cdot 100%=\frac{P_{abgegeben}}{P_{zugef\ddot uhrt}}\cdot 100%<1.</math>

<math>\text{Gesamtwirkungsgrad }\eta_{ges}=\eta_1 \cdot\eta_2 \cdots\eta_n</math>

6 Init-Quelle

Entnommen aus der:

• Wikipedia
• Löschdiskussion bei Wikipedia

Erster Autor: 79.239.206.77 angelegt am 02.08.2011 um 09:03,
Alle Autoren: Bone1234, Christian1985, Michileo, Sch, Merlinor, Johnny Controletti, Controletti Johnny Controletti, 79.239.206.77

7 Andere Lexika

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