Differentialgleichung

Richtungsfeld der DGL y' = y − x

Unter einer Differentialgleichung versteht man eine Gleichung, die eine Funktion und deren Ableitungen enthält. Als Beispiel sei die Gleichung y' − y = 0 genannt. Nach Umformung hätte man y' = y und würde als Lösung der DGL eine Funktion vermuten, deren Ableitung mit der Funktion übereinstimmt, z.B. y = e^x, d.h. diese Funktion wäre eine Lösung. Wobei hier auch ein Faktor vor der Exponentialfunktion stehen könnte, d.h. y = c ⋅ e^x.

Wenn die Funktion, welche die Differentialgleichung löst, nur von einer Variablen abhängt, so handelt es sich um eine Gewöhnliche Differentialgleichung - bei mehreren Variablen und Ableitung nach einer Variablen heißt es Partielle Differentialgleichung.

Weitere Begriffe beziehen sich auf die Anzahl der Ableitungen, z.B. handelte es sich bei dem obigen Beispiel um eine DGL 1. Ordnung, da keine höheren als die erste Ableitung vorhanden sind.

Als Schreibweise ist es üblich, die als Lösung gesuchte Funktion mit y zu bezeichnen und einen Term mit der Variablen x dann mit ƒ(x). Beispiel: y' = ƒ(x).

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1 Gewöhnliche Differentialgleichung

1.1 Einfache Beispiele

1. Die Gleichung y' = y ist eine DGL I. Ordnung, da die erste Ableitung die höchste ist. Da die abgeleitete und nicht abgeleitete Funktion gleich sind, kommt nur eine Funktion in Frage, die sich bei der Ableitung nicht ändert. Dies wäre aus der Erfahrung die Exponentialfunktion y = e^x. Da sich ein konstanter Faktor vor dem Term mit der Variablen auch nicht ändert, wäre hier die Lösung: y = c ⋅ e^x.
2. Die Gleichung y' = ƒ(x) ist eine DGL I. Ordnung. Man kann y' = dy/dx = ƒ(x) und somit dann dy = ƒ(x) ⋅ dx schreiben und zur Bestimmung der Lösungsfunktion y dann integrieren: y = ∫ ƒ(x) ⋅ dx = F(x). Beispielsrechnung: Die Gleichung y' = 2 ⋅ x ist gegeben. Die gesuchte Lösungsfunktion y kann über das Integral bestimmt werden: y' = 2 ⋅ x und somit y = ∫ 2x ⋅ dx = 2/3 ⋅ x³. Somit wäre die gesuchte Funktion y = 2/3 ⋅ x³ + c. Wenn ein Punkt vorgegeben wird, kann auch die Konstante c, welche bei der Ableitung wegfällt, bestimmt werden. In diesem Beispiel bei dem Punkt x = 3 und y = 30 hätte man 30 = 2/3 ⋅ 3³ + c, 30 = 18 + c, c = 12.

1.2 DGL 1. Ordnung der Form: y' = f(x) * g(y)

Wenn eine DGL mit den Faktoren f(x) * g(y) geschrieben werden kann, dann ist es möglich, die Lösungsfunktion mit Hilfe von zwei gleichgesetzten Integralen der Form ∫ 1/g(y) * dy = ∫ f(x) * dx zu bestimmen. Beispielsrechnung: Gegeben sei die Gleichung y' = 2/x * y, welche in die Faktoren f(x) = 2/x und g(y) = y aufgeteilt werden kann. Bildet man die Integrale so ergibt sich: ∫ 2/x * dx = 2 * ∫ 1/x * dx = 2 * ln(x) und ∫ 1/g(y) * dy=ln(y). Gleichgesetzt erhält man also ln(y) = 2 * ln(x) und umgeformt per ln-Rechnung: ln(y) = ln(x²), dann auf beiden Seiten mit e als Basis geschrieben: e^ln(y) = e^ln(x²) und nach Definition ergibt sich dann die Lösungsfunktion y = x². Zur Probe in die Ausgangsgleichung y' = 2/x * y eingesetzt: y = x², y' = 2x dann eingesetzt: 2x =2/x * x²=2x, d.h. die Lösungsfunktion y = x² ist richtig.

1.3 Homogene lineare DGL 1. Ordnung der Form: y' + f(x) * y = 0

Die DGL der Form y' + f(x) * y = 0 hat eine Allgemeine Lösung: y(x) = c * e^-F(x) mit der Stammfunktion F(x) = ∫ (f(x) * dx). Beispielsrechnung: Gegeben sei eine DGL y' - y/x = 0, mit f(x) = -1/x. Somit ergibt sich die Stammfunktion F(x) mit ∫ -1/x * dx = -ln(x). Man könnte jetzt also schreiben: y(x) = c * e^ln(x) = c * x. Die Lösungsfunktion ist somit eine Funktionenschar. Wäre zuvor ein Punkt (3|6) gegeben worden, wäre c berechenbar: y(x) = c * x, 6 = c * 3, c = 2 und somit die Lösungsfunktion: y = 2 * x. Zur Probe eingesetzt in die Ausgangsgleichung y' - y/x = 0 könnte man schreiben: y = 2 * x, dann y' = 2 und somit die Gesamtgleichung mit eingestzten Termen: 2 - 2 * x/x = 0, d.h. die eingesetzte Lösungsfunktion war richtig.

1.4 Lösung per Substitution von DGL der Form: y'=f(ax+by+c)

Beispiele für f(ax+by+c) könnten sein: f(ax+by+c)=3*(ax+by+c) oder f(ax+by+c)=5*(ax+by+c)+7 - dies zum Verständnis. Liegt eine Differentialgleichung dieses Typs vor, so wird der Term (ax+by+c) als eine Variable u zusammengefaßt: u=(ax+by+c), insofern wäre dann y'=f(u) und u'=du/dx=a+b*f(u). Diese Ableitung u'=a+b*f(u) läßt sich als Produkt u'=1*(a+b*f(u)) schreiben. Nunmehr kann ein Lösungsansatz für separierbare DGL der Form: y'=f(x)*g(y), mit ∫1/g(y)dy=∫f(x)dx angewendet werden, d.h. es wird eine Gleichsetzung der entsprechenden Integrale vorgenommen: u'=1*(a+b*f(u)), dann ∫1/(a+b*f(u)*du=∫1*dx. Die Wiedereinsetzung der Terme für u führt dann auf eine Form, die nur noch y enthält und somit eine Lösungsfunktion der DGL darstellt.
Beispiel: Die Lösungsfunktion y der DGL y'=x+y soll bestimmt werden. Entsprechend der Form dieser DGL wird normiert: y'=f(ax+by+c)=(1*x+1*y+0)=x+y. Somit y'=u und u'=du/dx=1+dy/dx=1+y'=1+u. Es kann nunmehr das Produkt geschrieben werden: u'=1*(1+u), so dass die Gleichsetzung der Integrale ausgeführt werden kann: ∫1/(1+u)*du=∫1*dx. Die Stammfunktion wird per Tabellenbuch ermittelt: ∫1/(1+u)*du=ln|u-(-1)|=ln|u+1| und ∫(1*dx)=x. Somit erhält man die Gleichung: ln(u+1)=x und kann diese als Exponentialfunktion schreiben: e^ln(u+1)=e^x, somit per Definition der Logarithmen-Rechnung: u+1=e^x. Wird die Rückeinsetzung für u, d.h.u=x+y, in die per Gleichsetzung von Integralen gefundene Beziehung: u+1=e^x dann eingesetzt, so erhält man: x+y+1=e^x und umgestellt nach y, erhält man die Lösungsfunktion: y=e^x-x-1. Diese Lösungsfunktion ergibt die Ableitung y'=e^x-1. Zur Probe werden die Lösungsfunktion y und ihre Ableitung y' in die Ausgangsgleichung y'=x+y eingesetzt: e^x-1=x+e^x-x-1, d.h. 0=0, die DGL mit der eingesetzten Lösungsfunktion und ihrer Ableitung ergibt eine wahre Aussage.

1.5 Inhomogene lineare DGL 1. Ordnung der Form: y'+f(x)*y=g(x)

Die Form der Lösungsfunktion lautet: y(x)=a(x)*e^-F(x) mit a(x)=∫g(x)*e^F(x)*dx und der Stammfunktion: F(x)=∫f(x)*dx
Beispiel:
y'+y=2, d.h. f(x)=1 und g(x)=2 Also: F(x)=∫1*dx=x und dann: a(x)=∫2*e^x*dx=2*∫e^x*dx=2*e^x und dann y(x)=2*e^x*e^-x=2*e^x-x=2 Somit ist die Lösungsfunktion der DGL y(x)=2 Probe: Eingesetzt in y'+y=2 ergibt: 0+2=2, 2=2, d.h. richtig.

1.6 Inhomogene lineare DGL 1. Ordnung mit Konstante der Form: y'+a₀*y=g(x)

Wenn der Faktor a₀ konstant ist, erhält man die Lösungsfunktion als y(x)=y_h+y_p, wobei h für "Homogene DGL" und p für "Partikuläre Lösungsfunktion" steht. Man findet für y_h einen Ansatz über: y_h(x)=c*e^{- a0*x} und einen Ansatz für y_p aus der nachfolgend dargestellten Liste:

g(x)=	Fallunterscheidung	yp(x)=
b0+b1*x+b2*x²+ ...+bn*xn		c0+c1*x+c2*x²+...+cn*xn
b*ek*x	k ungleich -a0	c*ek*x
b*ek*x	k=-a0	c*x*ek*x
b1*sin(x)+b2*cos(x)		c1*sin(x)+c2*cos(x)

Beispiele:

y'+y=2*ex Für yh erhält man: yh=c*e-x. Zur Bestimmung von yp wäre zu entscheiden, was vorliegt: Die Konstante a0 ist a0=1 und g(x)=2*ex, somit würde die Zeile mit g(x)=b*ek*x vorliegen, d.h. g(x)=2*ex, somit ist k=1 und damit ungleich -a0=-1. Man würde für yp den Ansatz: y0=c*ek*x erhalten, d.h. auf die Aufgabe bezogen die Partikuläre Lösungsfunktion: yp=c*ex. Also erhält man als Lösungsfunktion: y(x)=yh+yp; y(x)=c*e-x+c*ex. Dann wäre die Ableitung: y'(x)=-c*e-x+c*ex Zur Probe eingesetzt in die Ausgangsgleichung: y'+y=2*ex; -c*e-x+c*ex +c*e-x+c*ex=c*ex+c*ex=2*c*ex für c=1 also korrekt. Abschließend hätte man mit c=1 dann die Lösungsfunktion: y(x)=e-x+ex, mit der Ableitung: y'(x)=-e(-x)+ex, so dass nunmehr wiederum die Probe durch Einsetzen in die Ausgangsgleichung gemacht werden kann: y'+y=2*ex; -e(-x)+ex+e-x+ex=2*ex - so wie das sein soll.

y'+3y=6x+11 Für yh erhält man: yh=c*e-3x. Zur Bestimmung von yp folgt aus g(x)=6x+11, dass aus der obigen Tabelle die erste Zeile Gültigkeit hat und somit yp=c0+c1*x sein müßte. Aus diesem Grunde kann die Lösungsfunktion mit y(x)=yh+yp mit y(x)=c*e-3x+c0+c1*x geschrieben werden, so dass die Ableitung: y'(x)=-3c*e-3x+c1 ist. Zur Berechnung der Koeffizienten c, c0, und c1 wird in die Ausgangsgleichung: y'+3y=6x+11 eingesetzt: -3c*e-3x+c1+3*(c*e-3x+c0+c1*x)=6x+11, somit: -3c*e-3x+c1+3c*e-3x+3*c0+3c1*x=6x+11, somit: c1+3*c0+3*c1*x=6x+11. Per Schlussfolgerung können die Koeffizienten c0 und c1 bestimmt werden: Da der x-Term 6x ist und andererseits 3*c1*x steht, wäre c1=2, so dass 3*c1*x=3*2*x=6x ist. Da der konstante Term 11 ist und andererseits c1+3*c0 steht, wobei c1=2, gilt also: c1+3*c0=2+3*c0=11, somit: c0=3. Als Zwischenergebnis ergibt sich die Lösungsfunktion: y(x)=c*e-3x+3+2x mit Ableitung: y'(x)=-3c*e-3x+2. Setzt man dieses Zwischenergebnis der Lösungsfunktion in die Ausgangsgleichung y'+3y=6x+11 ein, so ergibt sich: -3c*e-3x+2+3*(c*e-3x+3+2x)=-3c*e-3x+2+3*c*e-3x+9+6x=2+9+6x=6x+11. Es zeigt sich, dass die Konstante c unerheblich ist, da sich die Terme mit c aufheben, so dass letzten Endes die Lösungsfunktion: y(x)=2x+3 lautet. Probe per Einsetzung in die Ausgangsfunktion y'+3y=6x+11: 2+3*(2x+3)=2+6x+9=6x+11, d.h. die Lösungsfunktion y(x)=2x+3 ist das richtige Ergebnis.

1.7 Inhomogene lineare DGL 2. Ordnung der Form: y"+ ay' + by=0

Die Lösungsfunktion bei a, b = const. ergibt sich aus Fallunterscheidung der Beziehung zwischen den Konstanten a und b:

Fallunterscheidung	Weitere Rechnung	Lösungsfunktion
a² - 4b > 0	r1, 2=-a/2 +/- √(a²/4 - b)	y=c1 * er1 * x + c2 * e r2 * x
a² - 4b = 0		y=e-a/2 * x * (c1 + c2 * x)
a² - 4b < 0	k=√(b-a²/4)	y=e-a/2 * x * (c1 * cos k * x + c2 * sin k * x)
a² - 4b < 0	k=√(b - a²/4), A=√(c1² + c2²), tan φ = c1/c2	y=e-a/2 * x * sin (k*x + φ)

Beispiel: Gesucht sei die Lösungsfunktion y der DGL: y" + 2*y' + y = 0. Zuerst ist eine Fallunterscheidung bezüglich der Konstanten a, b zu treffen. Die allgemeine Form lautet: y"+ ay' + by=0, somit handelt es sich bei der gegebenen DGL y" + 2*y' + y = 0 um die Konstanten: a=2 und b=1, d.h. die zweite Zeile der Tabelle mit a² - 4b = 0 enthält die allgemeine Lösungsfunktion: y=e^{-a/2 * x} * (c₁ + c₂ * x). Es werden die Ableitungen der allgemeine Lösungsfunktion gebildet, um sie danach in die gegebene DGL einsetzen zu können, um c₁ und c₂ so zu bestimmen, dass die Gleichung - wie bei diesem Typ vorausgesetzt - gleich null wird. Mit der bekannten Konstanten a=2 ergibt sich:
y'= - c₁ * e^{- x} - c₂ * e^{- x}
und
y"= c₁ * e^{- x} + c₂ * e^{- x}
Zur Bestimmung von c₁ und c₂ werden y, y' und y" in die gegebene DGL y" + 2*y' + y = 0 eingesetzt:
c₁ * e^{- x} + c₂ * e^{- x} + 2 * (- c₁ * e^{- x} - c₂ * e^{- x}) + c₁ * e^{- x} + c₂ * x * e^{- x} =c₂ * e^{- x} - 2 * c₂ * e^{- x} + c₂ * x * e^{- x}. Für c₂ = 0 wird die Bedingung erfüllt, dass die rechte Gleichungsseite null ergibt. Somit entsteht aus der allgemeinen Lösungfunktion der zweiten Tabellenzeile:
y=e^{-a/2 * x} * (c₁ + c₂ * x) nunmehr mit eingesetzten a=1, c₂=0 die Lösungsfunktion:
y= c₁ * e^{- x}. Da sich zuvor bei der Einsetzung die Konstante c₁ herausgehoben hatte, wird der Einfachheit halber c₁=1 gesetzt, so dass die endgültige Lösungsfunktion: y=e^{- x} lautet.
Probe:
Einsetzung der Lösungsfunktion und ihrer Ableitungen in die gegebene Gleichung mit y=e^{- x}, y'=- e^{- x}, y"= e^{- x} ergibt für y" + 2*y' + y = 0:
e^{- x} + 2 * (- e^{- x}) + e^{- x} = 0
Somit ist y=e^{- x} die Lösungsfunktion der gegebenen Differentialgleichung.

2 Richtungsfeld

Richtungsfeld der DGL y' = y mit der Lösungsfunktion y = c*e^x

Das Richtungsfeld einer DGL entsteht, indem bei einer größeren Anzahl von Punkten (x|y) des Koordinatensystems die Steigung eingetragen wird. Man stellt die DGL nach y' um und setzt für x und y auf der anderen Gleichungsseite die x,y-Werte des Punktes ein und berechnet. Das Resultat ist die Steigung m, welche einen Tangenswert darstellt und per arctan in die Winkelangabe umgerechnet werden kann. Nimmt man als Beispiel die Differentialgleichung y' = y dann hätte jeder Punkt (x|y) die Steigung des y-Wertes. Am Punkt (1|3) wäre die Steigung m=3, d.h. arctan(3)=71,565°, somit wird die Steigung mit diesem Winkel markiert. Es gibt unterschiedliche Programme, die das Richtungsfeld einer Differentialgleichung automatisch erstellen. Durch das Ausfüllen eines Richtungsfeldes kann die Lösungsfunktion ungefähr geschätzt werden.

3 Literatur

• G. H. Golub, J. M. Ortega: Wissenschaftliches Rechnen und Differentialgleichungen. Eine Einführung in die Numerische Mathematik. In deutscher Sprache herausgegeben von R. D. Grigorieff. Verlag: Heldermann Verlag (1995), ISBN 3885381068
• Gregor Oberholz: Differentialgleichungen für technische Berufe: Grundlagen und die gebräuchlichsten Lösungsverfahren mit grafischen, tabellarischen und rezeptartigen Lösungshilfen. Oberholz, Gregor; Auflage: 4., Aufl. (1995), ISBN 3980190242
• Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 2. Ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium. Vieweg Verlag; Auflage: 10. Aufl. (5. Oktober 2001), ISBN 3528942371
• Steven Holzner (Autor), Judith Muhr (Übersetzerin): Differentialgleichungen für Dummies. Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA; Auflage: 1. Auflage (8. Juli 2009), ISBN 3527705279
• Harro Heuser (Autor) : Gewöhnliche Differentialgleichungen. Einführung in Lehre und Gebrauch. Teubner B.G. GmbH; Auflage: 4., durchges. A. (März 2004), ISBN 3519322277
• Herbert Amann (Autor) : Gewöhnliche Differentialgleichungen. Gruyter; Auflage: 2., überarb. A. (23. März 1995), ISBN 3110145820

4 Weblinks

• Richtungsfeld einer Differentialgleichung - public.beuth-hochschule.de
• Die Schwingungsgleichung
• Das mathematische Pendel
• Gewöhnliche Differentialgleichungen - mathepedia.de
• Differentialgleichungen - matheplanet.com
• Richtungsfelder
• Differentialgleichungen - kmathf.math.uni-bielefeld.de

5 Siehe auch

• Integral
• Wellengleichung