Zeisel-Zahl
Die Zeisel-Zahl ist eine nach dem Mathematiker Helmut Zeisel benannte Zahl, die das Produkt wenigstens dreier Primzahlen ist, die einer bestimmten linearen Rekursion genügen. Eine besondere Bedeutung in der Mathematik spielen sie nicht. Aufgrund gewisser Ähnlichkeiten zu den Carmichael-Zahlen, und der Tatsache, das alle Zeisel-Zahlen auch fermatsche Pseudoprimzahlen zu irgendeiner Basis <math>a\ </math> sind, sind die Zeisel-Zahlen hier aufgeführt.
Inhaltsverzeichnis
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1 Definition
- p0 = 1
- pn = a·pn-1 + b
Dabei muss jedes pn mit <math>n \ge 1</math> eine Primzahl ergeben, und sowohl a als auch b sind für alle pn konstant. Die Zeisel-Zahl z ist dann das Produkt <math>p_1\cdot p_2\cdot ...\cdot p_n</math>.
1.1 Beispiel an der Zeisel-Zahl 1885
Die a ist in dem Beispiel die Zahl 2 und b die Zahl 3.
p0 = 1 p1 = a·p0 + b = 2·1 + 3 = 5 p2 = a·p1 + b = 2·5 + 3 = 13 p3 = a·p2 + b = 2·13 + 3 = 29 z = p1 · p2 · p3 = 5 · 13 · 29 = 1885
2 Zusammenhang zwischen den Zeisel-Zahlen und den Carmichael-Zahlen nach J.Chernick
Die Bildungsregel der Carmichael-Zahlen nach J. Chernick lautet (6n+1)*(12n+1)*(18n+1). Diese Bildungsregel ist identisch mit der Bildungsregel für Zeisel-Zahlen mit einem a=1 und b=6n. Demzufolge sind alle Carmichael-Zahlen nach Chernick, die ein Produkt aus drei Primzahlen bilden, auch Zeisel-Zahlen.
3 Eine Liste von Zeisel-Zahlen
Die Carmichael-Zahlen sind fett geschrieben.
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4 Geschichte
Der Name "Zeisel-Zahl" wurde vermutlich von Kevin Brown eingeführt, der Zahlen <math>k</math> suchte, für die der Ausdruck <math>2^{k-1}+k</math> eine Primzahl ergibt. In einem Posting in die Usenet-Newsgroup sci.math vom 24. Februar 1994 lieferte Helmut Zeisel die Zahl 1885 als eine weitere Lösung. Später wurde (durch Kevin Brown?) entdeckt, dass die Primfaktoren von 1885 die oben beschriebenene Eigenschaft haben. Ein Name der Art Brown-Zeisel-Zahlen wäre daher passender.
5 Verallgemeinerung
Man muß sich, bei der Bildung der Zeisel-Zahl nicht auf <math>p_0 = 1</math> beschränken. Auch davon abweichende Werte sind möglich.
5.1 Beispiele
- <math>p_0 = 4 ,\ a = 2 ,\ b = 5 </math>
p0 = 4 p1 = a·p0 + b = 2·4 + 5 = 13 p2 = a·p1 + b = 2·13 + 5 = 31 p3 = a·p2 + b = 2·31 + 5 = 67 z = p1 · p2 · p3 = 13 · 31 · 67 = 27001
- <math>p_0 = -1 ,\ a = 8 ,\ b = 27 </math>
p0 = -1 p1 = a·p0 + b = 8·-1 + 27 = 19 p2 = a·p1 + b = 8·19 + 27 = 179 p3 = a·p2 + b = 28·179 + 27 = 1459 z = p1 · p2 · p3 = 19 · 179 · 1459 = 4962059
6 Weblinks
- Sloane Sequence A051015
- Zeisel Number from MathWorld (englisch)
- MathPages - Zeisel Numbers (englisch)
7 Init-Quelle
Entnommen aus der:
Erster Autor: Arbol01, Alle Autoren: Arbol01, Helmut Zeisel, Gunther, Unyxos, Haeber, Martin-Vogel
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