Sommersemester2010 Uni Frankfurt Mathe Analysis I Übung Blatt 6 Aufgabe 23

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1 Aufgabe

Betrachten wir die Folge √2, √2*(√2), ... a_n+1 = √(2 ⋅ a_n)

Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass die Folge ansteigt mit a klein n < 2 Zeigen sie lim ↑ a_n = 2!

2 Anmerkungen

2.1 Verlauf der Folge

Die Folge müsste so aussehen:

• a₁=√2 = 1,4142135623730950488016887242097
• a₂=√(2 a₁) = 1,6817928305074290860622509524664
• a₃=√(2 a₂) = 1,8340080864093424634870831895883
• a₄=√(2 a₃) = 1,9152065613971472938726112702958
• a₅=√(2 a₄) = 1,9571441241754002690183222516269
• a₆=√(2 a₅) = 1,9784560263879509682582499181312
• a₇=√(2 a₆) = 1,9891988469672663513049553724443
• …
• …
• …
• a_n=√(2 a _n-1)

2.2 Verlauf der Folge II

• a₁ = √(2) = 2 ^1/2
• a₂ = √(2) ⋅ √(a₁) = 2 ^1/2 ⋅ (a₁ ^1/2) = 2 ^1/2 ⋅ (2 ^1/2) ^1/2 = 2 ^1/2 ⋅ (2 ^1/4)
• somit a₂ = 2 ^{(1/2) + (1/4)}
• a₃ = √(2) ⋅ √(a₂) = 2 ^1/2 ⋅ (a₂)^1/2 = 2 ^1/2 ⋅ (2 ^{(1/2) + (1/4)} )^(1/2) = 2 ^1/2 ⋅ (2 ^{(1/4) + (1/8)} )
• somit a₃ = 2 ^{((1/2) + (1/4) + (1/8))}
• somit a₄ = 2 ^{((1/2) + (1/4) + (1/8) + (1/16))}
• somit a₅ = 2 ^{((1/2) + (1/4) + (1/8) + (1/16) + (1/32))}
• …
• …
• …
• somit a_n = 2 ^{((1/2) + (1/4) + (1/8) + (1/16) + (1/32) + … + (1/(2 n)))}

Frage: Wie wird dies ganze per vollständige Induktion bewiesen?

Die Folge 2 ((1/2) + (1/4) + (1/8) + (1/16) + (1/32) + … + (1/(2 ⁿ))) = ∑ ⁿ _i=1 (1/(n ⁱ))

∑ ⁿ _i=1 (1/(n ⁱ)) wächst offensichtlich.

(Frage: Wie ist der formale Beweis? Ungleichung?)

∑ ⁿ _i=1 (1/(n ⁱ)) konvergiert bei n → ∞ gegen 1.

(Frage: Wie ist der formale Beweis?)

3 Musterlösung

Mit dem beantworten der drei Fragen, wäre dies die Lösung.