Schriftliches Wurzelziehen

Das Schriftliche Wurzelziehen ist ein Rechenverfahren, um die unbekannte Wurzel einer Zahl zu ermitteln. Bewährt hat sich in der Praxis dieses Rechenverfahren nur für Quadratwurzeln, die den Wurzelexponent n=2 haben. Es hat sich dabei gezeigt, dass alle Wurzeln aus einer Zahl, die nicht das Ergebnis des Potenzierens mit ganzen Zahlen - einschließlich der Potenzen mit einem ganzzahligen Bruch als Basis - sind, zur Menge der irrationalen Zahlen gehören. Solche Zahlen sind nicht auf einfache Weise mit den vier Grundrechenarten („nicht rational“) zu ermitteln und lassen sich nicht mit einem ganzzahligen Bruch darstellen. Für das Wurzelziehen wurden daher auch andere Verfahren entwickelt, im 20. Jahrhundert entsprechende Computerprogramme. Mit Einführung von Logarithmentafeln und Rechenschiebern an den Schulen wurde etwa seit den 1960er Jahren darauf verzichtet, das schriftliche Wurzelziehen zu unterrichten.

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1 Grundlagen

Zunächst geht es darum, einen Algorithmus zu finden, mit dem man die Wurzel einer Zahl bestimmen kann. Für die Quadratwurzel wird die Erste Binomische Formel verwendet: (a+b)² = (a² + 2ab + b²). Für die Kubikwurzel („dritte Wurzel“) würde entsprechend die Zweite Binomische Formel verwendet: (a+b)³ = (a³ + 3a²b + 3ab² + b³).

Man versucht während des Rechenganges die Zahl, aus der die Wurzel gezogen werden soll, in das Binom (a² + 2ab + b²) stufenweise zu zerlegen und so die gesuchte Wurzel zu bestimmen. Zum Beispiel wäre die Zahl 169 wie folgt zu zerlegen:
(10+3)² = 10² + 2 ^. 10 ^. 3 + 3²
Der Vorteil ist dabei, dass ähnlich wie beim schriftlichen Dividieren schrittweise vorgegangen werden kann. Das Rechenverfahren ist sowohl für ganze Zahlen als auch für Dezimalzahlen anwendbar. Etwas Probieren und Überblicken muss jedoch sein, d.h. wenn eine Zahl als Lösung nicht passt, nimmt man die nächsthöhere oder niedrigere Zahl, bewegt sich aber immer im Zahlenraum von 1 bis 9

2 Anwendung des schriftlichen Wurzelziehens

Die Anwendung kann auch in kleineren Schritten gezeigt werden

Am Beispiel der Quadratwurzel aus 144 wird die Anwendung im Folgenden beschrieben:

• Zunächst erfolgt die Aufteilung in Hundertergruppen von rechts nach links: 1|44
• Bestimmung der ersten Ziffer von links, (diese entspricht a in der Binomischen Formel)
• Man zieht aus dieser ersten Gruppe von links die Wurzel (Schritt A im Bild)
• Wurzel aus 1 ist hier 1, dies entspricht eigentlich der Zahl 10, die Wurzel aus 100, es wird zur Vereinfachung nur die 1 geschrieben
• Der nächste Schritt ist wie beim schriftlichen Dividieren: 1 ^. 1 = 1, und das Ergebnis wird abgezogen.

√ 1 44 = 1
 -1
  __
    44

• Nun wird die nächste Hundertergruppe untersucht
• Um die zweite Ziffer des Ergebnisses zu erhalten (b in der Binomischen Formel), muss man nun durch 2 ^. a (hier: 2 ^. 10 = 20) teilen, wobei ein ausreichender Rest bleiben muss
• Der nächste Rechenschritt ergibt 44 : 20 = 2 (Schritt B im Bild) mit Rest 4, der Rest 4 entspricht 2² , die Berechnung geht also auf Null auf. Dieser Schritt entspricht 2ab + b² in der Binomischen Formel und ist etwas komplizierter als beim schriftlichen Dividieren, kann aber bei größeren Zahlen beliebig wiederholt werden (hier 2 ^. 10 ^. 2 + 2² = 24 + 4), und das Ergebnis wird jeweils abgezogen.

√ 1 44 = 12
 -1
  __
    44
   -40
  -  4
   ____
     0

Ähnlich dem schriftlichen Dividieren wird hier die stellengerecht eingerückte Darstellung genutzt.

3 Weitere Beispiele:

Quadratwurzel aus einer vierstelligen Zahl

Schriftliches Ziehen der Quadratwurzel aus 4225

Quadratwurzel aus einer sechsstelligen Zahl

Schriftliches Ziehen der Quadratwurzel aus 100489

Quadratwurzel aus 2

Schriftliches Ziehen der Quadratwurzel aus 2

4 Vergleich zu Wikipedia

• Schriftliches Wurzelziehen bei Wikipedia (Wikipedia-Version)

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