Monomorphismen von Moduln

Eine Injektive Funktion zwischen Mengen <math>

 A\rightarrow B

</math>, ordnet verschieden Argumenten verschiedene Bilder zu. Ist die Funktion zugleich ein Homomorphismus zwischen Moduln, so hat sie weitere Eigenschaften.

Inhaltsverzeichnis

1 Monomorphismus
2 Literatur
3 Init-Quelle
4 Andere Lexika

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1 Monomorphismus

1.1 Satz

Für einen Homomorphismus <math> f:M_{R}\rightarrow N_{R}</math> zwischen Moduln sind folgende Aussagen äquivalent.

<math>

     Kern(f) = \{m|m\in M,\, f(m)\} =\{0\}
   </math>

Für alle<math> a,b\in M </math> mit <math> f(a)=f(b) </math> ist <math> a=b</math>.
<math>

   f
 </math> ist links kürzbar. Das heißt: Für alle Moduln<math>  L_{R}</math>und alle Homomorphismen<math>  g,h:L_{R} \rightarrow M_{R}</math> gilt:<math>  fg=fh\Rightarrow g=h</math>.

1.1.1 Beweis

Aus der Aussage 1 folgt die Aussage 2.: Seien <math> a,b\in M_{R} \, f(a)=f(b) </math>. Dann ist <math> f(a-b)=0 \Rightarrow a=b \Rightarrow a=b </math>.

Aus 2. folgt 3.: Seien <math> h,g:L_{R}\rightarrow M_{R}\, mit fg=fh</math> zwei Homomorphismen. Dann gilt <math>

 x\in L_{R}\Rightarrow fg(x)=fh(x)\Rightarrow g(x)=h(x)

</math>. Daher ist <math>

 f=g.

</math>

3. folgt 1.: Sei <math> x\in Kern(f)</math>. Wir haben die beiden Homomorphismen:

<math> \begin{align}

 g:xR\ni xr&\mapsto 0\in M_{R}\\
 h:xR\ni xr&\mapsto xr\in M_{R}

\end{align} </math>

Es ist <math> fg=fh</math> und daher <math>g=h</math>. Insbesondere ist <math>0=g(x)=h(x)</math>. Daher ist <math>Kern(f)=\{0\}</math>.

1.2 Definition

Erfüllt ein Homomorphismus <math>f:M_{R}\rightarrow N_{R}</math> eine und damit alle äquivalenten Eigenschaften des Satzes, so heißt <math>f \, </math> Monomorphismus zwischen den Moduln. Die dritte Aussage des Satzes besagt, dass <math> f </math> im Sinne der Kategorientheorie ein Monomorphismus ist.

1.3 Beispiele

Ist <math> U_R \hookrightarrow M_R </math> ein Untermodul, so ist die Inklusionsabbildung <math> \iota:U\ni u \mapsto u\in M</math> ein Monomorphismus.
Jeder <math> \mathbb{Z}</math> Homomorphismus von der Menge der ganzen Zahlen in die rationalen Zahlen welcher nicht die Nullabbildung ist, ist ein Monomorphisus.

1.4 Bemerkungen

Sind <math> f:M\rightarrow N_R \quad g:N_R \rightarrow O_R </math> Monomorphismen, so ist <math> g\circ f </math> ein Monomorohismus.
Ist <math> g\circ f </math> ein Monomorphismus, so ist <math> f </math> ein Monomorphismus.
Ist <math> g\circ f </math> ein Monomorphismus, so ist <math> f(M) \cap Kern(g) =\{0\} </math>.

2 Literatur

Frank W. Anderson and Kent R. Fuller Rings and Categories of Modules Springer, New-York 1992, ISBN 0-387-97845-3
Friedrich Kasch Moduln und Ringe. Teubner, Stuttgart 1977, ISBN 3-519-02211-7
Robert Wisbauer Grundlagen der Modul- und Ringtheorie. Reinhard Fischer, München 1988, ISBN 3-88927-044-1.