Linker-Verteilung

Die Linker-Verteilung (benannt nach Patrick Linker) ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung , die Aussagen darüber macht, wie schnell sich eine Struktur, die Schwierigkeiten hat, ihre Wirkung zu entfalten, ihre Wirkung entfaltet. Ein Beispiel dafür ist eine Flüssigkeit, die in einen Behälter mit Austrittsöffnung eingeschlossen ist, aufgrund ihrer Viskosität Schwierigkeiten hat, den Behälter durch die Austrittsöffnung zu verlassen (entspricht der Wirkung). Sie kann beispielsweise bei der Konzeption von Maschinen, die mit Hydraulik betrieben werden, angewendet werden.

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1 Definition

Eine Zufallsgröße <math>X</math> (Zeit; definiert zwischen <math>I = [0,\infty]</math>) genüge bei einer extrem "viskosen" Struktur (z.B. einer Flüssigkeit), die auch extrem lange dafür benötigt, ihre Wirkung zu entfalten, mit den Parametern <math>n,u</math> der Wahrscheinlichkeitsverteilung:

<math>\rho = Lin(n,u) = \frac{u}{\ln n} \frac{e^{- \frac{1}{n} e^{ux}}}{1+ \frac{1}{n} e^{ux}}</math>.

Hierbei gibt <math>x</math> die Zeit an (in Sekunden gemessen), während <math>u</math> in 1/Sekunden gemessen wird und <math>n</math> ohne Einheit ist (<math>n</math> ist eine große Zahl). Um die Zeit zu berechnen, in der sich die Wirkung der Struktur erwartungsgemäß entfalten sollte, wird der Erwartungswert der Linker-Verteilung betrachtet:

<math> E(X) = \int_{0}^{\infty} \rho x dx </math>.

2 Veranschaulichung

Mithilfe einer Markow-Kette kann der Prozess "Entfaltung einer Wirkung bei einer Struktur" nachgebildet werden. Der Zustandsraum dieser Markow-Kette umfasst zwei Zustände:

A: Wirkung ist nicht entfaltet; B: Wirkung ist entfaltet.

Für den Übergang von A nach A (d.h. Wirkung bleibt nicht entfaltet für den jeweiligen Zeitschritt) ergibt sich eine Übergangswahrscheinlichkeit von <math>p_{A,A} = 1-c \tau</math> ,für den Übergang von A nach B entsprechend <math>p_{A,B} = c \tau</math> , wobei <math>\tau</math> infinitesimal klein gehalten wird. Der Übergang von B nach A sei nicht möglich. Somit wird folgende Übergangsmatrix erhalten: <math>P = \begin{pmatrix} 1-c \tau & c \tau \\ 0 & 1 \end{pmatrix}</math>. Als Anfangsverteilung nehme man den Wahrscheinlichkeitsvektor <math>\vec p_0 = (1,0)</math> , d.h. zu Beginn hat die Struktur noch keine Wirkung entfaltet. Durch die Vorschrift <math>\vec p_{i+1} = \vec p_i \cdot P</math> lassen sich die Verteilungen für den i-ten Zeitschritt berechnen. Wenn man die Entwicklung der rechten Spalte des Wahrscheinlichkeitsvektors (Wahrscheinlichkeit dafür, dass Wirkung entfaltet ist) betrachtet, bemerkt man, dass diese Entwicklung dem Integral der Linker-Verteilung <math>P(X \leq t) = \int_{0}^{t} \rho(t') dt'</math> in etwa entspricht.