Sommersemester2010 Uni Frankfurt Mathe Analysis I Übung Blatt 6 Aufgabe 23

Aufgabe

Betrachten wir die Folge √2, √2*(√2), ... a_n+1 = √(2 ⋅ a_n)

Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass die Folge ansteigt mit a klein n < 2 Zeigen sie lim ↑ a_n = 2!

Die Folge müsste so aussehen:

a₁ = √(2) = 2 ^1/2
a₂ = √(2) ⋅ √(a₁) = 2 ^1/2 ⋅ (a₁ ^1/2) = 2 ^1/2 ⋅ (2 ^1/2) ^1/2 = 2 ^1/2 ⋅ (2 ^1/4)
somit a₂ = 2 ^{(1/2) + (1/4)}
a₃ = √(2) ⋅ √(a₂) = 2 ^1/2 ⋅ (a₂)^1/2 = 2 ^1/2 ⋅ (2 ^{(1/2) + (1/4)})^(1/2) = 2 ^1/2 ⋅ (2 ^{(1/4) + (1/8)})
somit a₃ = 2 ^{((1/2) + (1/4) + (1/8))}
somit a₄ = 2 ^{((1/2) + (1/4) + (1/8) + (1/16))}
somit a₅ = 2 ^{((1/2) + (1/4) + (1/8) + (1/16) + (1/32))}
…
…
…
somit a_n = 2 ^{((1/2) + (1/4) + (1/8) + (1/16) + (1/32) + … + (1/(2 ⁿ)))}

Frage: Wie wird dies ganze per vollständige Induktion bewiesen?

Die Folge 2 ((1/2) + (1/4) + (1/8) + (1/16) + (1/32) + … + (1/(2 ⁿ))) = ∑ ⁿ _i=1 (1/(n ⁱ))

∑ ⁿ _i=1 (1/(n ⁱ)) wächst offensichtlich.

(Frage: Wie ist der formale Beweis? Ungleichung?)

∑ ⁿ _i=1 (1/(n ⁱ)) konvergiert bei n → ∞ gegen 1.

(Frage: Wie ist der formale Beweis?)

Mit dem beantworten der drei Fragen, wäre dies die Lösung.