Monomorphismen von Moduln

Eine Injektive Funktion zwischen Mengen $A\to B$, ordnet verschieden Argumenten verschiedene Bilder zu. Ist die Funktion zugleich ein Homomorphismus zwischen Moduln, so hat sie weitere Eigenschaften.

Monomorphismus

Satz

Für einen Homomorphismus $f:M_R\to N_R$ zwischen Moduln sind folgende Aussagen äquivalent.

1. $Kern(f)=\{m|m\in M,f(m)\}=\{0\}$
2. Für alle$a,b\in M$ mit $f(a)=f(b)$ ist $a=b$.
3. $f$ ist links kürzbar. Das heißt: Für alle Moduln$L_R$und alle Homomorphismen$g,h:L_R\to M_R$ gilt:$fg=fh\Rightarrow g=h$.

Beweis

Aus der Aussage 1 folgt die Aussage 2.: Seien $a,b\in M_{R}f(a)=f(b)$. Dann ist $f(a-b)=0\Rightarrow a=b\Rightarrow a=b$.

Aus 2. folgt 3.: Seien $h,g:L_R\to M_{R}mitfg=fh$ zwei Homomorphismen. Dann gilt $x\in L_R\Rightarrow fg(x)=fh(x)\Rightarrow g(x)=h(x)$. Daher ist $f=g.$

3. folgt 1.: Sei $x\in Kern(f)$. Wir haben die beiden Homomorphismen:

$\begin{array}{rl}g:xR\ni xr& \mapsto 0\in M_R\\ h:xR\ni xr& \mapsto xr\in M_R\end{array}$

Es ist $fg=fh$ und daher $g=h$. Insbesondere ist $0=g(x)=h(x)$. Daher ist $Kern(f)=\{0\}$.

Definition

Erfüllt ein Homomorphismus $f:M_R\to N_R$ eine und damit alle äquivalenten Eigenschaften des Satzes, so heißt $f$ Monomorphismus zwischen den Moduln. Die dritte Aussage des Satzes besagt, dass $f$ im Sinne der Kategorientheorie ein Monomorphismus ist.

Beispiele

1. Ist $U_R\hookrightarrow M_R$ ein Untermodul, so ist die Inklusionsabbildung $\iota :U\ni u\mapsto u\in M$ ein Monomorphismus.
2. Jeder $\mathbb{\mathbb{Z}}$ Homomorphismus von der Menge der ganzen Zahlen in die rationalen Zahlen welcher nicht die Nullabbildung ist, ist ein Monomorphisus.

Bemerkungen

1. Sind $f:M\to N_{R}g:N_R\to O_R$ Monomorphismen, so ist $g\circ f$ ein Monomorohismus.
2. Ist $g\circ f$ ein Monomorphismus, so ist $f$ ein Monomorphismus.
3. Ist $g\circ f$ ein Monomorphismus, so ist $f(M)\cap Kern(g)=\{0\}$.

Literatur

• Frank W. Anderson and Kent R. Fuller Rings and Categories of Modules Springer, New-York 1992, ISBN 0-387-97845-3
• Friedrich Kasch Moduln und Ringe. Teubner, Stuttgart 1977, ISBN 3-519-02211-7
• Robert Wisbauer Grundlagen der Modul- und Ringtheorie. Reinhard Fischer, München 1988, ISBN 3-88927-044-1.

Init-Quelle

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• Wikipedia
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Erster Autor: Hesmucet angelegt am 10.03.2011 um 11:11,
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