Integral

Mathematischer Aufstieg zum Integral

Das Integral ordnet einer Funktion (Mathematik) eine sogenannte Stammfunktion zu. Es ist die Umkehrung der ersten Ableitung in der Analysis. Werden die Grenzen des Intervalls, in welchem gerechnet wird, eingesetzt, so wird aus dem unbestimmten Integral (nur Stammfunktion) das bestimmte Integral (Stammfunktion mit Integrationsgrenzen) und man erhält einen konkreten Zahlenwert als Lösung. Die Integralrechnung ist ein Teilgebiet der Analysis. Zum Beispiel kann mit Hilfe des Integrals die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion f(x) und der x-Achse als Abzisse berechnet werden, wobei diese Fläche nach links und rechts die Integrationsgrenzen als Anfang und Ende hat.

Unbestimmtes Integral

Allgemein kann aus der Quadratfunktion f(x) = x² die Stammfunktion F(x) bestimmt werden. Dies geht nach der Formel:

So ergibt sich für eine Parabel mit der Standard-Gleichung f(x) = x² + bx + c das Integral F(x) = 1/3 x³ + bx²/2 + cx + d. Es kommt also eine neue Variable d hinzu.

Bestimmtes Integral

Wenn man also die Fläche berechnen will, bestimmt man zunächst die linke (hier a genannt) und rechte Grenze (b). Danach setzt man die Werte für "a" und "b" in die Stammfunktionen ein und zieht diese voneinander ab:

Im Fall einer Parabel ergibt sich aus der Standard-Gleichung f(x) = x2 das Integral F(x) = 1/3 x3 + c konkret die Fläche zwischen x=0 und x=1 wie folgt:

Die Variable würde gemäß F(b) - F(a) = (1/3 x_b³ + c) - (1/3 x_a³ + c) nach Auflösung der Klammern wegfallen.

Zu beachten ist dabei, dass Flächen negativ sind, wenn der Graph unterhalb der x-Achse verläuft.

Beispiele

Häufig wird das Integral benutzt, um Produkte der Art f(x) * t berechnen zu können.

Da die Geschwindigkeit als Wegzunahme pro Zeiteinheit, v = s/t, definiert ist, kommt man auf den Weg, indem man die Gesamtzeit einfach mit der Geschwindigkeit multipliziert, d.h. s = v * t. Etwas komplizierter wird es, wenn es sich um eine beschleunigte Bewegung handelt, so dass die Geschwindigkeit ständig größer wird und somit eine Funktion von der Zeit, d.h. v(t), darstellt. Da die Beschleunigung wiederum als Geschwindigkeitszunahme pro Zeiteinheit definiert ist, kommt man auf die Geschwindigkeit, indem man den Zahlenwert der Beschleunigung mit der Gesamtzeit multipliziert, d.h. v(t) = a * t. Wollte man jetzt den Weg bei einer solchen beschleunigten Bewegung bestimmen, so müsste man in einem Diagramm Rechtecke bilden, die als Ordinate (senkrecht) das Produkt a * t und als Abzisse (waagerecht) ein kleines Zeitintervall Δ t enthalten würden. Das Aufsummieren solcher Rechtecke stellt die typische Anwendung des Integrals dar, so dass geschrieben werden kann, dass der Weg s gleich:

Diagramm Geschwindigkeit aus Zeit

Bestimmtes Integral mit Weg aus Geschwindigkeit und Zeit mit den Integrationsgrenzen t1, t2

Wenn t1 = 0 ist, dann:

Dies ist dann auch die bekannte Formel des Weges aus Beschleunigung und Zeit:

Siehe auch

• Kurvendiskussion

Weblinks

• Differential- und Integralrechnung durch Leibniz, gwlb.de
• 50-Stammfunktionsbeispiele von Funktionen
• Integralrechnung
• Integrator

Literatur

• Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis I (Grundstudium Mathematik) [Taschenbuch]; Birkhäuser; Auflage: 3. A. (3. Januar 2008), ISBN 3764377550
• Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis II (Grundstudium Mathematik) [Taschenbuch]; Birkhäuser; Auflage: 2., korr. Aufl. 2006. Nachdruck. (18. März 2006), ISBN 3764371056
• Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis III (Grundstudium Mathematik) [Taschenbuch]; Birkhäuser; Auflage: 2. A. (18. September 2008), ISBN 3764388838
• Otto Forster: Analysis 1 [Broschiert]; Vieweg Friedr. + Sohn Ver; Auflage: 7., verb. A. (Juli 2004), ISBN 3528672242