Gammafunktion Näherung

Die (komplexe) Gammafunktion hat eine Besonderheit, die mit guter Genauigkeit eine Berechnung in geschlossener Form erlaubt, nämlich die Funktionalgleichung

<math>\Gamma(z+1) = z\cdot\Gamma(z),</math>

die eine Art Periodizität beinhaltet. Hat man Funktionswerte in einem Streifen der Breite 1 in <math>\Re(z)</math>, so können mithilfe der Funktionalgleichung die Werte in jedem anderen entsprechenden Streifen berechnet werden. Mit

<math>\ln(\Gamma(z)) = \ln(\Gamma(z+1)) - \ln(z)</math>

kann man von einem Streifen auf den nächstniedrigen gelangen und das <math>m</math>-fach (Böhmer 1939, S.108). Da es für große <math>|z|</math> sehr gute Näherungen für <math>\ln(\Gamma(z))</math> gibt, kann so deren Genauigkeit in Bereiche übertragen werden, wo die direkte Anwendung der betreffenden Näherung nicht anzuraten wäre. Nach Rocktäschel (1922, S.14) empfiehlt sich, wie schon von Carl Friedrich Gauß bemerkt, die aus der Stirling-Formel abgeleitete asymptotische Entwicklung in <math>z</math>

<math>Ro(z) = \frac12 \ln(2\pi) + (z-\frac12) (\ln(z-\frac12) - 1)</math>.

Diese hat zwar im Nahbereich bei <math>z = \frac12</math> eine Irregularität, ist aber schon für <math>|z|>10 </math> brauchbar. Mit dem Korrekturterm <math>-\frac{1}{24(z-\frac12)}</math> wird ihr Fehler auf <math>O(z^{-3})</math> verringert.

Die <math>m</math>-fache Anwendung mit dieser Näherung führt auf

<math>\ln(\Gamma(z)) \approx Ro(z+m) - \sum_{k=0}^{m-1} \ln(z+k)</math>

Den komplexen Logarithmus berechnet man über die Polar-Darstellung von z. Für die meisten Anwendungen, etwa in der Wellen-Ausbreitung (z.B. Rawer 1993), sollte m=100 ausreichen.

1 Literatur

Otto Rudolf Rocktäschel: Methoden zur Berechnung der Gammafunktion für komplexes Argument. Dissertation, Dresden 1922.
Paul Eugen Böhmer: Differenzengleichungen und bestimmte Integrale. K. F. Koehler, Leipzig 1939.
Karl Rawer: Wave Propagation in the Ionosphere. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht 1993