Sommersemester2010 Uni Frankfurt Mathe Analysis I Stunde 2

Dies ist die Zusammenfassung der Vorlesung Analysis I vom 16.04.2010.

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1 Tutorium

Das Tutorium wird Alex Hoffmann halten.

Die Termine sind:

• Fr 8-10 (H16)
• Fr 12-14 (H16)
• Mi 12-14 (H16)

2 Definition Mengenlehre

Mengen wurden von Georg Cantor in den Jahren 1874–1897 begründet.

Unter einer „Menge“ verstehen wir jede Zusammenfassung ℳ von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die „Elemente“ von ℳ genannt werden) zu einem Ganzen.[1]

3 Mengen Algebra

Ω – (Großes omaga) - ω (kleines Omega)

3.1 Vereinigung und Durchschnitt

Grundmenge Ω (Omega) kann eine endliche Menge sein.
Teilmengen A, B, C kann man durchschneiden und vereinigen.

• A ∪ B Vereinigung
• A ∩ B Durchschneiden

Es gelten

• (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C ) (Assoziativgesetz) ((A vereinigt B) vereinigt C ist dasselbe wie A vereinigt (B vereinigt C))
• (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C ) (Assoziativgesetz) ((A durchschneidet B) durchschneidet C ist dasselbe wie A durchschneidet (B durchscheidet C))

• A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ) (Distributivgesetz) ((A vereinigt (B durchschneidet C) ist dasselbe wie (A durchschneidet B) vereinigt (A durchschneidet C))
• A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (Distributivgesetz) (A durchschneidet (B vereinigt C) ist dasselbe wie (A durchschneidet B) vereinigt (A durchschneidet C)

• (A ∪ B) = (B ∪ A) (Kommutativgesetz) (A vereinigt B ist dasselbe wie B vereingit A)
• (A ∩ B) = (B ∩ A) (Kommutativgesetz) (A durchschneidet B ist dasselbe wie B durchschneidet A)

3.2 Komplementbildung

• A → ℭA (C handschriftlich / Altdeutsch)
• A^c (verpönt)
• Ω\A (Omega ohne die Menge A)

Es gelten folgende Regeln:

• ℭ (ℭ A )ist dasselbe wie A (Das Komplement vom (Komplement A) ist wiederum A - es gilt:

Der Satz vom ausgeschlossenen Dritten (lat. tertium non datur, 
wörtlich: Ein Drittes ist nicht gegeben, 
engl. Law of the Excluded Middle)

• ℭ (A ∪ B) = ℭ(A) ∩ ℭ(B)
• ℭ(A∩B) = ℭ(A) ∪ ℭ(B)
• ℭ(ℭ(A∩B)) = ℭ(ℭ(A) ∪ ℭ(B))
• A∩B = ℭ(ℭ(A) ∪ ℭ(B))
• A∩B
• B\A = B ∩ ℭ(A)

4 Axiom

Axiome sind nicht natürlich gegebene Grundeigenschaften.

5 Indikatorfunktionen

A ⊆ Ω

¹A ¹A(Ω) = {1 wenn ω ∈ A; 0 wenn ω ∉ A} (große geschweifte Klammer auf; zwei Zeilen untereinander; große geschweifte Klammer zu)

• ¹A mal ¹B = ¹(A ∩ B)
• ¹A + ¹B = ¹(A ∪ B) + ¹(A ∩ B)
• (¹A + ¹B) (ω) = 1 ⇔ (ω) ∈ (A\B) ∪ (B\A)
• (¹A + ¹B) (ω) = 0 ⇔ kleinmöglichstes Element ℭ(A ∪ B) = ℭ(A) ∩ ℭ(B) ???

Multiset:

Die Menge aller Noten ist {1,2,3,4,5}

Multiset wie oft kommt jede Note vor? (1er sooft, 2er sooft, 3er sooft, ...)

Multisets lassen sich als Summe von Indikatorfunktionen darstellen

• ¹A + ¹B + ¹C = ¹(A ∩ B) – ¹(B ∩ C) – ¹(C ∩ A) + ¹(A ∩ B ∩ C) = ¹(A ∪ B ∪ C) ???
• A ⊆ B ⇔ A ∩ B = A (Obermenge) (wenn A Teilmenge von B ist und A durchschneidet B, so ist das Ergebnis A - Beispiel: Frauen sind Menschen; Wenn man alle Frauen betrachtet, so betrachtet man Alle Frauen)
• A ⊆ B ⇔ A ∪ B = B (Wenn A Teilmenge von B ist so gilt wenn A vereinigt B B - Beispiel: Frauen sind Menschen - wenn wir alle Frauen und alle Menschen betrachten, so betrachten wir Alle Menschen).
• A ⊆ B ⇔ ℭ(A ∪ B) = Ω (Wenn A Teilmenge von B ist dann gilt Nicht (A vereinigt B) ist Omega. (Beispiel: Alle Frauen sind Menschen - Nicht (Alle Frauen vereinigt Menschen) ist nicht die Menge ???
• A ⊆ B ⇔ A und ℭ(B) = Leere Menge (∅) (Wenn A Teilmenge von B ist, dann gilt A und nicht B ist die leere Menge. Beispiel Alle Frauen sind Menschen. Alle Frauen und Nicht alle Menschen - gibt es nicht)

Es gilt ferner:

• A ⊆ B ; B ⊆ C ⇒ A ⊆ C (Wenn A Teilmenge von B ist und B ist Teilmenge von C dann ist auch A Teilmenge von C. Beispiel: Alle Studentinnen sind Frauen. Alle Frauen sind Menschen. Somit sind alle Studentinnen auch Menschen)
• A ⊆ B ; B ⊆ A ⇒ A = B (Wenn A Teilmenge von B ist und B Teilmenge von A ist dann gilt A ist B - Beispiel: Alle Einser sind 1er und alle 1er sind Einser - also Alle 1er sind Alle Einser. (Vielleicht kein gutes Beispiel)

6 Relationen

Definition:

Eine Relation über die Grundmenge ℳ (Altdeutsches M) heißt eine (partielle) Ordnung. 

a ≤ a für alle a ∈ ℝ

i) antisymmetrisch (Wenn a ≤ b und b ≤ a dann b=a) ii) Reflexiv (Wenn a ≤ a) iii) Transitive (Wenn a ≤ b und b ≤ c dann auch a ≤ c)

A' ⊆ A für alle A; (Noch UNKLAR)

Beispiel: Mengeninklusion – ist eine partielle Ordnung.

Eine berühmte partielle Ordnung ist die Teilbarkeit

• a|b (a teilt b)
• a|a (a teilt a) wenn a aus ℕ (5 teilt 5)
• a|b und b|a dann ist a = b (2 teilt 2 und 2 teilt 2 also ist 2 = 2)
• a|b und b|c dann a|c (die 2 teilt die 4 und die 4 teilt die 8 also teilt die 2 auch die 8)

Gleichheit ist partielle Ordnung

Zweistellige Relation

≤ bedeutet "steht in Relation zu"

R (Die Relation "echt kleiner als" nicht reflexiv)

ℳ (M geschweift Teilmenge Relationen)

ⅿ (M anders geschrieben) Äquivalenzrelation

wenn gilt (1)a ~ a für alle a (Reflexiv) (2)a ~ b => b~a (Symmetrie) (Oben steht Antisymmetrisch?) (3)a ~ b und b ~ c => a ~ c (Transitiv)

7 Kongruenz

Konguent?

≡ p

„a und b sind kongruent modulo m“ a≡b mod n

Beispiel a≡b mod 5

kongruent modulo 5: 2 zu 7 und 2 zu 12 und 2 zu 17 kongruent modulo 5: 1 zu 6 und 1 zu 11 und 1 zu 16

8 Äquivalenzklassen

a ≡ b genau dann wenn n|(b-a)

≡ bedeutet kongruent modulo 5

• a teilt b ist dasselbe wie b ist ein vielfaches von a
• Ist eine Äquivalenzrelation

9 Boole Aussagelogik

Es gibt viele Logiken – die einfachste ist die Aussagelogik

• A ∨ B = A oder B (Entweder A oder B oder Beides)
• A ∧ B = A und B (A und B müssen wahr sein)
• (A ∨ B) ∨ C = Mindestens eine Aussage ist wahr
• A ∨ (B ∨ C) = Dito (Assoziativgesetz)

• (A ∧ B) ∧ C = A ∧ (B ∧ C) alle Drei müssen wahr.
• A ∨ (B ∧ C) = (A ∨ B) ∧ ( A ∨ C) (Distributivgesetz)
• A ∧ (B ∨ C) = (A ∧ B) ∨ ( A ∧ C) (Distributivgesetz)
• ¬A (Wenn A nicht wahr ist) (Negation)
• ¬(¬A) = A („tertium non datur“) Ein Drittes ist nicht gegeben.

9.1 Regeln von Morgan

Anekdote: "Das was der Mensch schreibt so falsch, dass sogar das Gegenteil falsch ist."

• ¬(A ∧ B) = (¬A) ∨ (¬B)
• ¬(A ∨ B) = (¬A) ∧ (¬B)

Drei Regeln von Morgan: Morgan'sche Regeln

A eins oder Azwei oder An

Assoziativgesetz gilt hier.

n

⋁ A_i

i=1

⋁ Ai = ∃ i (Es gibt ein i das gilt (eine wahre Aussage))

(Gesamtaussage Wahr wenn wenigstens ein A_i wahr ist)

n

⋀ A_i

i=1

∀ A_i = A₁ ∧ A₂ ∧ A_n

(Alle Aussagen A_i müssen wahr sein, damit die Gesamtaussage wahr ist)

• Existenzquantor (∃)
• Allquantor (∀)

Wichtige Definition: ω sein eine Menge (Grundmenge)

• Ein System α (Kursives a) von Teilmengen von Ω dann gilt
• (i) ∅ gehört zu α  ; α gehört zu Groß M (Leere Menge gehört zu α)
• (ii)A,B Element α → A ∧ B

(Unklar???)

Def: Eine Partition a Grundmenge Ω eine Vereinigung ist eine Darstellung von Ω als als paarweise disjunkte Mengen

Ω gleich Summe A_i

10 Siehe auch

• Mitschrift als PDF
• Mitschrift als ODT (Open Office)
• Skripte